定積分が解けません

質問

∫ｄｘ　ｘ→-R～R　　(x^2)log {(√R^2-x^2)+R /x }

という定積分を解いているのですが分かりません
式の分解した一部でもヒントでもいただけるとありがたいです

よろしくお願いいたします

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

No.2,No.3です。

ANo.3の最後の3行、転記ミスです。
以下のように訂正します。

誤：
>=(1/3)πR^3+(1/3)lim[x→+0] x^(-1)/(-3x^(-4))
>=(1/3)πR^3-(1/9)lim[x→+0] x^3
>=(1/3)πR^3

正：
=(1/12)πR^3+(1/3)lim[x→+0] x^(-1)/(-3x^(-4))
=(1/12)πR^3-(1/9)lim[x→+0] x^3
=(1/12)πR^3

お礼

ご回答ありがとうございます

詳しくご回答いただき　本当にありがとうございます
とても勉強になりました。

回答No.3

info22_

No.2です。

ANo.2の補足質問

R>0とすれば被積分関数は
>[1] (x^2)log{((√R^2-x^2)+R)/x}　(積分区間 0<x<R)
ということなので

I=∫x^2*log((√(R^2-x^2)+R)/x)dx
部分積分して
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)-(1/3)∫x^3*((-x/(√(R^2-x^2)(√(R^2-x^2)+R))-(1/x))dx
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)+(1/3)∫x^2dx+(1/3)∫x^2*(R-√(R^2-x^2))/√(R^2-x^2)dx
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)+(1/9)x^3+(1/3)∫x^2*R/√(R^2-x^2)dx
-(1/3)∫x^2*(√(R^2-x^2))/√(R^2-x^2)dx
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)+(1/9)x^3+(R/3)∫x^2/√(R^2-x^2)dx-(1/3)∫x^2dx
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)+(1/9)x^3+(R/3)∫x^2/√(R^2-x^2)dx-(1/9)x^3
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)+(R/3)∫x^2/√(R^2-x^2)dx
部分積分して
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)+(R/3){-x√(R^2-x^2)+∫√(R^2-x^2)dx}
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)-(Rx/3)√(R^2-x^2)+(R/3)∫√(R^2-x^2)dx
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)-(Rx/3)√(R^2-x^2)+(R/3)∫(R^2-x^2)/√(R^2-x^2)dx
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)-(Rx/3)√(R^2-x^2)
+(R/6)∫(R^2-2x^2)/√(R^2-x^2)dx+(R^3/6)∫1/√(R^2-x^2)dx
=(1/3)x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)-(R/3)x√(R^2-x^2)+(R/6)x√(R^2-x^2)+(R^3/6)sin^-1(x/R) +C
=(1/6){2x^3*log((√(R^2-x^2)+R)/x)-Rx√(R^2-x^2)+R^3*sin^-1(x/R)}+C
=f(x)

∴∫[+0,R]x^2*log((√(R^2-x^2)+R)/x)dx=f(R)-f(+0)
=(1/6){2R^3*log(R/R)+R^3*sin^-1(R/R)}-(1/6)lim[x→+0]{-2x^3*log(x)}
=(1/6)R^3*π/2+(1/3)lim[x→+0] log(x)/x^(-3)
ロピタルの定理適用して
=(1/3)πR^3+(1/3)lim[x→+0] x^(-1)/(-3x^(-4))
=(1/3)πR^3-(1/9)lim[x→+0] x^3
=(1/3)πR^3

回答No.2

info22_

>(x^2)log {(√R^2-x^2)+R /x }
積分する関数は
[1] (x^2)log{((√R^2-x^2)+R)/x}　(定義区間 0<x<|R|)
[2] (x^2)log{(√R^2-x^2)+(R/x)}　(定義区間 -|R|<x<0,0<x<|R|
のどちらですか？

いずれにしても、積分区間[-R,R]に定義されていないx=0や-|R|<x<0が含まれているので
積分できません。

[1]の場合、
不定積分なら
I=∫x^2*log((√(R^2-x^2)+R)/x)dx
=(1/6){2x^2*log(((√R^2-x^2)+R)/x)-Rx√(R^2-x^2)+R^3*tan^-1(x/√(R^2-x^2))}+C
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます

質問したかった式は[1]です
区間のご指摘ありがとうございます

差し支えなければ、[1]の不定積分の解法を教えていただけないでしょうか
あと
積分区間が　限りなく０に近い正数～Rであれば定積分は可能でしょうか？

回答No.1

Tacosan

log の中はどう解釈すればいいですか?