等速円運動についての関係式２

質問

連日質問して申し訳ないです。
今回は加速度についての質問です。

加速度：ax=-acosθ,ay=-asinθが与えられていて、a=2πv/T=v^2/rを導く

自分なりに考えてしまいましたが、途中で行き詰まってしまいました。
前回の速さのときに与えられていた関係式vx=-vsinθ,vy=vcosθを用いて、
ax=dvx/dθ=-v(sinθ)'-(v)'sinθ
=-vcosθ-sinθ
ay=dvy/dθ=v(cosθ)'＋(v)'cosθ
=-vsinθ＋cosθ
a=√(ax)^2+(ay)^2
=√(-vcosθ-sinθ)^2+(-vsinθ+cosθ)^2
=v+1
こうなってしまったのですが、この先どうすればいいのやら・・・というかそもそもこの方針でいいのかどうかすらよくわかりません。
どなたか助けてください、お願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

またお会いしましたね。（笑）

まず、
ax = dvx/dθ = -v(sinθ)'-(v)'sinθ = -vcosθ-sinθ
という考え方は、２つの意味で、非常にまずいです。

なぜかというと、
ａxの次元は、長さ／時間^2
-ｖcosθ の次元は、長さ／時間^2
-sinθ の次元は、無次元。

物理では、次元の違うもの同士の足し算引き算、あるいは、それら同士を等号で結ぶことは厳禁です。

また、
ｘ方向の加速度によって、ｘ方向の速度が決まり、
ｙ方向の加速度によって、ｙ方向の速度が決まる、
というふうに分離できるわけではないです。
この問題は直線運動ではなく円運動ですから、加速度の方向と速度の方向とは、一致しません。（互いに垂直です。）

では、本題。

まず、θを時刻ｔの関数で表すことが必要です。
θがｔの一次関数であることが既知であるとして、
θ ＝ ωｔ　と表す。
θが０から２πまで変化する時間が周期Ｔなので、
２π－０ ＝ ω（Ｔ－０）
よって、
ω＝２π／Ｔ

ax = -acos(ωt)
ay = -asin(ωt)

cos(ωt) = -ax/a
sin(ωt) = -ay/a

加速度を時刻ｔで積分すれば速度。

vx = -∫acosθ dt = -a∫cos(ωt) dt = -a/ω・sin(ωt)　＋積分定数
vy = -∫asinθ dt = -a∫sin(ωt) dt = a/ω・cos(ωt)　＋積分定数

円運動では、等速直線運動の成分はないので、積分定数はゼロ

vx = -a/ω・sin(ωt) = -a/ω・(-ay/a) = ay/ω
vy = a/ω・cos(ωt) = a/ω・(-ax/a) = -ax/ω

|v| = √(vx^2 + vy^2) = √[ay^2 + (-ax)^2]／ω
　＝ |a|/ω
　＝ |a|/(２π/Ｔ)
　＝ |a|Ｔ/(２π)
よって、
|a| ＝ ２π|v|／Ｔ

さらに、ｒも算出されたいのであれば下記。

速度を積分すれば位置。

x = ∫vx dt = -a/ω∫sin(ωt) dt = a/ω^2・cos(ωt) ＋積分定数 = a/ω^2・(-ax/a) ＋積分定数
= -ax/ω^2 ＋積分定数
= -ax/(２π／Ｔ)^2 ＋積分定数

y = ∫vy dt = a/ω∫cos(ωt) dt = a/ω^2・sin(ωt) ＋積分定数 = a/ω^2・(-ay/a) ＋積分定数
= -ay/ω^2 ＋積分定数
= -ay/(２π／Ｔ)^2 ＋積分定数

円の中心を（０，０）とすれば、積分定数はゼロ

x = -ax/(２π／Ｔ)^2
y = -ay/(２π／Ｔ)^2

r = √(x^2 + y^2) = √[(-ax)^2 + (-ay)^2] ／(２π／Ｔ)^2
= |a|Ｔ^2／(４π^2)
= ２π|v|／T・Ｔ^2／(２π)^2
= |v|T/(２π)

よって、
Ｔ　＝　２πｒ／|v|

よって、
|a| ＝ ２π|v|／Ｔ ＝ ２π|v|／（２πｒ／|v|）
　＝　ｖ^2／ｒ

お礼

こんにちは。いつもありがとうございます。
私の回答のどこがいけないのか、丁寧に教えていただきありがとうございます。たいへん参考になりました。この問題を解いているときには、加速度と速度の方向が一致しないということを認識していなかったので、ここでsanoriさんにコメントしていただいてよかったと思っています。
式も大変細かく書いていただき、かなり理解しやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#58790

黙ってましたぅ。＾＾

質問内容からすると、

「単振動式を使って」
「サインカーブを用いて」

この運動方程式を持ちいてVX、VYを使って求めよ。
こうなるのかと思いますが、
途中ぶち込みになってしまい、理解の妨げになります。

＃２様のが理解しやすいはずです。
＃１様はレベルが高い方のようで、途中ぶち込み、更に積分しています。

＃２様は、必ずｔについての微分をしていますね。
http://www.nep.chubu.ac.jp/~chikaura/cryst/rikigaku/tansin3.html
この形に自分で導くようにしましょう。

なぜ、ここで微分を（積分）を用いたのですか？
何を求めるためですか？

こう言う質問が、
貴方をより良い方向に導いてくれます。

お礼

#1様と#2様の回答について、わかりやすいコメントを残していただきありがとうございました。#1様と#2様の回答についての概要が書かれていて、#1様と#2様の回答を見る前に読むと、回答の式が頭に入ってきやすかったです。
また、ためになるURLを教えていただきありがとうございました。
等速円運動と正弦曲線の結びつきがよくわかり、イメージしやすくなりました。大変ありがとうございました。

回答No.2

ht1914

前の質問では高校生か大学生か分からなくて簡単に書きました。今回の質問で書かれている内容を見ると大学生のような気がします。微分で考えていこうとしているからです。

微分で考えていくのであれば一度きちんと座標変換のところを勉強し直して頂くのがいいと思います。円運動だけではなく一般的な表現としてです。細切れに質問をしなくてもすむようになるはずです。

ここのところで出てくる表現は（ｘ、ｙ）直角座標から（ｒ、θ）の極座標への変換によって全て出てきます。等速円運動はその中のある条件でのものです。ケプラーの法則の場合は中心力の場での関係式ですが等速円運動ではありません。

書かれている式を拝見すると円運動を考えていながらθが時間を含むということが考慮されていません。運動のイメージが理解できていないようです。

一般的な場合を導いておきます。結果だけ示しますから微分は自分でやってみて下さい。

ｘ＝ｒｃｏｓθ、ｙ＝ｒｓｉｎθ

Ｖｘ＝ｄｘ／ｄｔ＝ｄｒ／ｄｔｃｏｓθ－ｒｄθ／ｄｔｓｉｎθ
Ｖｙ＝ｄｙ／ｄｔ＝ｄｒ／ｄｔｓｉｎθ＋ｒｄθ／ｄｔｃｏｓθ
これで（Ｖｘ，Ｖｙ）→（Ｖｒ，Ｖθ）と変換されました。Ｖｒ＝ｄｒ／ｄｔ、Ｖθ＝ｒｄθ／ｄｔです。

Ａｘ＝ｄＶｘ／ｄｔ＝Ａｒｃｏｓθ－Ａθｓｉｎθ
Ａｙ＝ｄＶｘ／ｄｔ＝Ａｒｓｉｎθ＋Ａθｃｏｓθ
Ａｒ＝ｄ＾２ｒ／ｄｔ＾２－ｒ（ｄθ／ｄｔ）＾２
Ａθ＝２（ｄｒ／ｄｔ）（ｄθ／ｄｔ）＋ｒｄ＾２θ／ｄｔ＾２
となります。

等速円運動ではｄｒ／ｄｔ＝０、ｄ＾２ｒ／ｄｔ＾２＝０、ｄθ／ｄｔ＝ω、ｄω／ｄｔ＝０ですので
Ａｒ＝－ｒω＾２、Ａθ＝０となります。

惑星の運動の場合は中心力の働いている場合ですから
Ａｒ＝Ｆ／ｍ、Ａθ＝０です。

Ａθ＝２（ｄｒ／ｄｔ）（ｄθ／ｄｔ）＋ｒｄ＾２θ／ｄｔ＾２＝０
ｒを掛けると
２ｒ（ｄｒ／ｄｔ）（ｄθ／ｄｔ）＋ｒ＾２ｄ＾２θ／ｄｔ＾２＝０
ｄ／ｄｔ（ｒ＾２ｄθ／ｄｔ）＝０
ｒ＾２ｄθ／ｄｔ＝一定
（１／２）ｒ＾２ｄθ／ｄｔは面積速度ですから「面積速度一定」という関係が出てきます。この性質は中心力の場であれば成り立ちますから万有引力の場合だけではありません。

楕円軌道はＦが１／ｒ＾２という形の時に成り立つものです。

座標変換はたいていの力学の本に載っているはずです。

お礼

こんにちは。前回の質問にも今回の質問にも答えていただき、大変ありがたく思っています。
ht1914さんのおっしゃるとおり、私は大学生です。教職をとるために物理をがんばっています。
回答を細かく丁寧に、そしてわかり易く書いていただきありがとうございました。ところどころ式の間に書かれているコメント（たとえば「これで（Vx,Vｙ）→（Vr,Vθ）と変換されました。）なども助かりました。物理に対してかなりの苦手意識を持っている私でも理解することができました。