高校数学の質問です

質問

３次関数　f(x)=(1/3)x^3-x^2+4/3 上の点( t , f(t) )における接線が
y=f(x) と再び交わる点のx座標を求めたい。
普通に手続きを踏めば-2t+3と求められますが、少し面倒です。
求める座標は関数 f(x) に依存するのだから、
何か簡単に求める方法はないものでしょうか。
もし、おわかりの方がいらっしゃったら教えてください。

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

一般化してf(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0)のとき
質問のx座標が-2t-b/aであることを既知とすれば
a=1/3とb=-1を代入して簡単に求まるとは言えます。

でもこれは-2t-b/aとなることを示す過程を端折って
いるだけのこじつけでしょう。

お礼

一般的に-2t-b/aとなるのですね。ありがとうございました。公式として覚えておくほどではありませんが、記憶の片隅に留めておきたいです。

補足

因みに、４次関数y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+eの場合は、ax^2+(b+2at)x+(3at^2+2bt+c)=0の解となるようです。当然ながら、実数解をもつ場合のみ交点が存在します。

回答No.4

naniwacchi

#1です。

重解というのも、出てくる式が整式だから言えるまでで、整式でなくなれば言えなくなります。
ここは地道に行くことを考えるのがよいかと。

回答No.3

noname#199771

＞４次関数

x座標そのものよりも、グラフ上の点全体から自分自身
への自明でない微分同相写像の例を1つ与えているの
がこの問題の意義といえるでしょう。

3次関数特有の面白い性質です。

補足

点から点への１対１の写像ということですね。なるほど。

回答No.1

naniwacchi

接する点の 座標（ｘ＝ t）は、曲線と接線を連立させたときに得られる xの 3次方程式の重解になることを知っていれば、因数分解が多少は楽にできるかと。

このことを利用して、
f(x)- { f '(x)(x-t)+ f(t) }＝ 1/3*(x- t)^2* (x- M)

という式から係数比較で Mを得る方法もありますね。

補足

定数項のみ比較すれば良いのですね。でも、もう少しズバッと求められる方法はないでしょうか。