数学IIB.関数の問題です。

質問

関数 f（x）= x^3 - 6x^2 +5x - 4のグラフをCとする。
Cにおいて、点｛1.f（1）｝における接線Lと、点｛3.f（3）｝における接線が平行であるとき、原点Oを通るCの接線のうち、LでないものとCの接線のx座標は？。

宜しくお願い致します。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

＞関数 f（x）= x^3 - 6x^2 +5x - 4のグラフをCとする。
＞Cにおいて、点｛1.f（1）｝における接線Lと、点｛3.f（3）｝における接線が平行であるとき、
＞原点Oを通るCの接線のうち、LでないものとCの接線のx座標は？。
交点のｘ座標、ということにします。
点｛1.f（1）｝における接線Lと、点｛3.f（3）｝における接線は、
ふつうに計算していけば平行であることが分かります。
また、接線Ｌは原点を通ります。この他に原点を通る接線は２つあるので、
この２本の接線と、点｛3.f（3）｝における接線の交点のｘ座標を求めます。

点｛3.f（3）｝における接線をＭとすると、
ｆ'（ｘ）＝３ｘ^2－１２ｘ＋５
接線Ｌ：｛1.f（1）｝＝（１，－４），　ｆ'（１）＝－４だから、
ｙ＋４＝－４（ｘ－１）より、ｙ＝－４ｘ
接線Ｍ：｛3.f（3）｝＝（３，－１６），　ｆ'（３）＝－４だから、
ｙ＋１６＝－４（ｘ－３）より、ｙ＝－４ｘ－４
よって、傾きが等しいから、接線Ｌと接線Ｍは平行

Ｌ以外の原点を通る接線の接点をＰ（ｐ，ｑ）とすると、（ｐ≠１）
ｑ＝ｐ^3－６ｐ^2＋５ｐ－４
ｆ'（ｐ）＝３ｐ^2－１２ｐ＋５
ｙ－ｑ＝ｆ'（ｐ）（ｘ－ｐ）
原点を通るから、
－ｑ＝ｆ'（ｐ）（－ｐ）　　これに上の式を代入すると、
－ｐ^3＋６ｐ^2－５ｐ＋４＝－３ｐ^3－＋１２ｐ^2－５ｐより、
２ｐ^3－６ｐ^2＋４＝０から、ｐ^3－３ｐ^2＋２＝０
（ｐ－１）（ｐ^2－２ｐ－２）＝０
ｐ≠１なので、ｐ^2－２ｐ－２＝０より、ｐ＝１±√３
ｐ＝１＋√３のとき、ｆ'（ｐ）＝－６√３＋５より、ｙ＝（－６√３＋５）ｘ
ｐ＝１－√３のとき、ｆ'（ｐ）＝６√３＋５より、ｙ＝（６√３＋５）ｘ
接線Ｍとの交点のｘ座標は、
（－６√３＋５）ｘ＝－４ｘ－４より、（－６√３＋９）ｘ＝－４
－３（２√３－３）ｘ＝－４，ｘ＝４（２√３＋３）／３・（１２－９）
よって、ｘ＝４（２√３＋３）／９
（６√３＋５）ｘ＝－４ｘ－４より、（６√３＋９）ｘ＝－４
３（２√３＋３）ｘ＝－４，ｘ＝－４（２√３－３）／３・（１２－９）
よって、ｘ＝－４（２√３－３）／９，　

のようになりました。。　計算を確認してみて下さい。
（接線Ｌは全く使わなかったので、もしも問題が違っていたら教えて下さい。）

お礼

大変わかりやすく、参考になりました。ありがとうございました。