数学III 微分

質問

よろしくお願い致します。

関数　f(x)=x/e^x　（-∞＜x＜∞）
y軸上の点P（0 . p）からこの関数の曲線に3本の接線がひけるとする。
このようなyのとり得る値の範囲を求めよ。

先ほど解いたのですが行き詰ってしまったのでご指摘していただけると幸いです。

私はまず第二次導関数まで微分してグラフを書きました。
すると「x=1で最大値、x→∞で0に収束、x→-∞で-∞に発散」
というグラフが書けました。

そしてf(x)上の（t . f(t)）に接線が引けるとすると
y={(1-t)/e}x＋(t^2)/e
これがP（0 . p）を通るので代入し p=(t^2)/e

しかしこのf(x)に接線を3本引ける事ってできるのでしょうか・・？
2本以上って不可能だと思ったので（勘違いだったらすいません）

とりあえず　y=p　g(t)=(t^2)/e　として
この2つの関数が共有点をもてば成立すると思いg(t)を微分しグラフを書き・・。
とやっていたらpのとる範囲は　0≦p　となりました。

解答みると　0＜p＜4/e^2
解説を見るとf(x)に引ける接線の本数は　p=(t^2)/e　が2つの相異なる実数解の個数に等しいと書いてあります。この辺り私の理解力不足で納得できません。

恐縮ながら、かなり雑文で長々書いてしまい申し訳ありません。
どうか御指南をよろしくお願い致します。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

接線の方程式、違っていませんか。

f'(x)=(1-x)*e^(-x)ですので(t,f(t))における接線の方程式は

y-t*e^(-t)=(1-t)*e^(-t)*(x-t)
y=(1-t)*e^(-t)*x+t^2*e^(-t)

となります。e^(-t)を消すことは出来ません。

この直線が(0,p)を通ることから

p=t^2*e^(-t)

後はg(t)=t^2*e^(-t)のグラフを書いてみればg(t)=pと3点で交わるpの範囲はすぐにわかると思います。