代数的整数についてです。

質問

代数的整数についてです。
１．そもそも、如何なる物ですか。何故、２次方程式の解でも、代数的整数に成らない物が有るのですか。
２．有理整数と同じ性質を持つ、と言われていますが、どんな性質ですか。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

https://ja.wikipedia.org/wiki/代数的整数
に書いてある通り
代数的整数とは,整数係数で最高次係数が1の1変数多項式(方程式)の根となるような複素数のことをいいます。
整数係数で係数の最大公約数が1の2次方程式の解でも,
2次係数が1でない場合、代数的整数に成りません。
例)
2x^2-1=0
x=±1/√2
は代数的整数でない

整数係数の1次方程式の解はすべて有理数で、
1次係数が1の整数係数1次方程式の解はすべて(有理)整数で
(有理)整数はすべて代数的整数ですが,
1次係数が2以上の整数係数1次方程式の解は整数でない有理数ですが
整数でない有理数はすべて代数的整数ではありません。
例
2x-1=0
x=1/2
は代数的整数でない

2
代数的整数の全体Aは加法と乗法について閉じている
複素数環Cの部分環をなす
単位元を持つ可換環である
商(割り算)について閉じていないので体でない

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/代数的整数

お礼

またまた誠に有難う御座います！