二次関数の分数の積分について

質問

f(x)=a/(bx^2+cx+d)
のとき
∫f(x)dx=F(x)+C
となるF(x)の求め方を教えてください。

回答No.9

178-tall · ベストアンサー

結果は、参考 URL のトップにありました
　　　　　　↓　
3 Integrands of the form x^m / (a x^2 + b x + c)n

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_rational_functions

お礼

…いや、そもそも、２次式分の１を微分する方法を理解してないかも？

補足

ありがとうございます。
数学は奥が深いですね。

ところで話は変わって２次式分の１をマクローリン展開すると以下の計算で合ってますか？
1/(ax^2+bx+c)=1/c+(1/b)x+(1/a)x^2+x^3+x^4+x^5...
収束範囲(|x|<1)

ぼんやりとした記憶では情報系の大学ではマクローリン展開した式を積分するのが一般的なのかと思ってましたが、収束範囲が(|x|<1)では全く使い物にならない？それとも何か|X|>=1でも使える応用方法があるのでしょうか？

回答No.14

178-tall

(a) ANo.13

まず、一部訂正。
　　　　　↓
(1) 共役対 {d, d*} の場合
　原始関数 { 1/(d-d*) } LN{(z-d)/(z-d*) } の実関数表現。

以下は私的覚書で失礼…。
　　　　　↓

(1) 共役対 {d, d*} の場合
　z = x, d = α+iβ, d = α-iβ
　原始関数　{ 1/(2iβ) } LN[ {(x-α)-iβ}/{(x-α)+iβ} ]
　　　　　　　↓　{(x-α)-iβ}/{(x-α)+iβ} = e^-2i*arctan{β/(x-α) } を代入
　= {1/(2iβ) } [-2i*arctan{β/(x-α) } ] = {1/(2β) } [-arctan{β/(x-α) } ]
　= {1/(2iβ) } [2i*arctan{(x-α)/β} ] = {1/(2β) } [arctan{(x-α)/β} ]

(2) 実根対 {p1, p2} の場合
原始関数　{ 1/(p1-p2) } ln| (z-p1)/(z-p2) |
　p1 = α+β, p2 = α-β
(参考)
　y = tanh(x) ←→ x = arctanh(y) = (1/2) {LN(1+y)/(1-y) }

(3) 二重根 p1 = p2 の場合
　(特になし)

回答No.13

178-tall

二次式の零点 {p1, p2} がダブっていなければ、
　f(x) = 1/{ (x-p1)(x-p2) } = { 1/(p1-p2) }{ {1/(z-p1) } - {1/(z-p2) } ]
と展開して、原始関数は、
　{ 1/(p1-p2) } ln| (z-p1)/(z-p2) |

{p1, p2} が共役対 {d, d*} の場合が ANo.12 …というわけ。

残務は、

(1) 共役対 {d, d*} の場合
　原始関数 { 1/(d-d*) }{ {1/(z-d) } - {1/(z-d*) } ] の実関数表現。
　(結果は、ANo.9 参考 URL 参照)

(2) 実根対 {p1, p2} の場合
　(結果は、ANo.9 参考 URL 参照)

(3) 二重根 p1 = p2 の場合
　(結果は、ANo.9 参考 URL 参照)

…ですけど、チャレンジしてみて。

回答No.12

178-tall

ANo.10 のレス
　　　↓
>有理関数の積分では
>　有理式 = 多項式 + 部分分数
>と和分解…

簡単そうなのは、二次式の零点が「共役複素 d とその共役 d*」の場合。

　f(z) = 1/{ (z-d)(z-d*) } = { 1/(d-d*) }{ {1/(z-d) } - {1/(z-d*) } ]
と展開して、原始関数は、
　{ 1/(d-d*) } ln{(z-d)/(z-d*) }
だろう、と見当がつきますネ。

回答No.11

info22_

No.3,No.5です。

ANo.5の補足の質問の回答

>ところで話は変わって２次式分の１をマクローリン展開すると以下の計算で合ってますか？
f(x)=1/(ax^2+bx+c)=1/c+(1/b)x+(1/a)x^2+x^3+x^4+x^5...
収束範囲(|x|<1)

合っていませんね。うろ覚えでなく復習のつもりでマクローリン展開してみたら如何？
分母が２次式ということなので a≠0ですね。「1/a」を括りだしておき、p=b/a,q=c/aとおくと
f(x)=(1/a)/(x^2+px+q)
と変形できますから
g(x)=1/(x^2+px+q)のマクローリン展開して各項に1/aを掛ければf(x)のマクローリン展開が得られます。
そこでg(x)のマクローリン展開をすると
g(x)=(1/q)-(p/q^2)x-((q-p^2)/q^3)x^2+((2q-p^2)p/q^4)x^3
+((q^2-3p^2q+p^4)/q^5)x^4-((3q^2-4p^2q+p^4)p/q^6)x^5 + ...　(|x|<<1)
となります。
展開した時の係数は簡単な式ではないですね。

>ぼんやりとした記憶では情報系の大学ではマクローリン展開した式を積分するのが一般的なのかと思ってましたが、収束範囲が(|x|<1)では全く使い物になりませんね…？

被積分関数が、解析的に積分不可能な場合で　かつ収束することがわかっている場合には
マクローリン展開してから数値積分することもあるでしょうね。

被積分関数の不定積分を求めることが可能な場合には、マクローリン展開する必要がありません。マクローリン展開の級数ぼ収束性が悪い場合は、マクローリン展開して数値積分する方法もあまり有効ではありません。

回答No.10

178-tall

>…マクローリン展開した式を積分するのが一般的なのかと思ってましたが…

有理関数の積分では

　有理式 = 多項式 + 部分分数

と和分解して行うのがスタンダードみたいですネ。

回答No.8

178-tall

参考 URL について。
公式そのものの検証じゃありませんけど、若干のコメントを…。

一見して、

・(共役) 複素零点なら、そのまま使えそう。
・相異なる実零点なら、実関数への変換が要りそう。
・二重 (実) 零点なら？

…という感触。
やはり、一筋縄ではいきそうもありませんネ。

回答No.7

178-tall

ANo.6 の補足です。

参考 URL のトップがその結論なのかもしれません。
　　↓　(当方は未検証ですけど…)

参考URL：

http://www.sky.zaq.jp/deuterium/integral/integ-34.html

回答No.6

178-tall

>この計算は大学の数学科のレベルでしょうか？
>高校の数学や工学部の大学の数学で習った記憶がございません。
>忘れてるだけ、もしくはちゃんと勉強してなかっただけでしょうか？

当方のレスは、かってに高校のレベルで書き連ねてますネ。

複素領域でやり直せば、統一的なアプローチを得られそうな気がしてきました。
トライしてみて…。

回答No.5

info22_

No.3です。

ANo.3の補足について

>logやアークタンジェントが出てくる理由が今一つわからないのですが…
{log(x)}'=1/xを習っているなら
積分は微分の逆操作ですから∫(1/x)dx=log(x)+C (x>0)
と1/xの不定積分からlog(x)が出てきます。
1/x（x≠0)のxは正、負の値をとるから ∫(1/x)dx=log|x|＋Cと絶対値が付きます。
x⇒x+aとおけば ∫{1/(x+a)}dx=log|x+a|+C(x≠-a)となります。

またtan(・)の逆関数のtan^-1(・)=arctan(・)は置換積分における変数をもとに戻すとき
tan(・)の逆関数からtan^-1(・)が出てきます。
すなわち,t=tan(u) という変数変換を行えば、元の変数tに戻すとき,
逆関数をとって u=tan^-1(t)を代入するとき逆関数のアークタンジェントが現れます。
逆関数については高校で習いませんでしたか？
不定積分では、変数変換がよく使われますは、積分後、元の変数に戻すときに、逆関数を求めて使うことが通常行われます。

高校によっては、（受験に必要がないからという理由で）微積の一部を省略され習ってこない場合もあるので、最近は大学１年前期に高校数学の補講などを行うケースも増えてきているようです（学部の数学や物理などの授業に支障がでるため）。

>この計算は大学の数学科のレベルでしょうか？
高校の微積の範囲のレベルかと思います。

>高校の数学や工学部の大学の数学で習った記憶がございません。
>忘れてるだけ、もしくはちゃんと勉強してなかっただけでしょうか？

２次式分の1の不定積分の場合分けを知らなかった事自体、ちゃんと高校で微積を勉強してこなかったか、高校の授業で省略され習ってこなかったのかもしれませんね。

お礼

…いや、そもそも、２次式分の１を微分する方法を理解してないかも？

補足

＞２次式分の1の不定積分の場合分けを知らなかった事自体、ちゃんと高校で微積を勉強してこなかったか、高校の授業で省略され習ってこなかったのかもしれませんね。

習ってないのか？ちゃんと勉強してこなかったのか？忘れたのか？
高校までは真面目に勉強してたつもりなんですが…
…定かではありません…

ところで話は変わって２次式分の１をマクローリン展開すると以下の計算で合ってますか？
1/(ax^2+bx+c)=1/c+(1/b)x+(1/a)x^2+x^3+x^4+x^5...
収束範囲(|x|<1)

ぼんやりとした記憶では情報系の大学ではマクローリン展開した式を積分するのが一般的なのかと思ってましたが、収束範囲が(|x|<1)では全く使い物になりませんね…？
（大学では遊び呆けてたからなあ…）

回答No.4

ramayana

本当は、bx^2+cx+d が重根を持つかどうかの 2 通りで分ければいいです。log の式もアークタンジェントの式も見かけが違うだけで本当は同じものです。もっと言えば、a, b, c が実数か虚数かも関係ありません。