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二次関数の分数の積分について

f(x)=a/(bx^2+cx+d) のとき ∫f(x)dx=F(x)+C となるF(x)の求め方を教えてください。

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  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.9

結果は、参考 URL のトップにありました       ↓  3 Integrands of the form x^m / (a x^2 + b x + c)n    

参考URL:
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_rational_functions
oshieteyooo
質問者

お礼

…いや、そもそも、2次式分の1を微分する方法を理解してないかも?

oshieteyooo
質問者

補足

ありがとうございます。 数学は奥が深いですね。 ところで話は変わって2次式分の1をマクローリン展開すると以下の計算で合ってますか? 1/(ax^2+bx+c)=1/c+(1/b)x+(1/a)x^2+x^3+x^4+x^5... 収束範囲(|x|<1) ぼんやりとした記憶では情報系の大学ではマクローリン展開した式を積分するのが一般的なのかと思ってましたが、収束範囲が(|x|<1)では全く使い物にならない?それとも何か|X|>=1でも使える応用方法があるのでしょうか?

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その他の回答 (13)

  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.3

>二次関数の分数の積分について >f(x)=a/(bx^2+cx+d) >のとき >∫f(x)dx=F(x)+C >となるF(x)の求め方を教えてください。 題意からab≠0と考えられるのでa/bで括ると f(x)=(a/b)*1/(x^2+(c/b)x+(d/b)=a'/(x^2+2b'x+c') と変形できます。a',b',c'を改めてa,b,cとおくと  ∫f(x)dx=a∫{1/(x^2+2bx+c)}dx+C という不定積分になります。aは単なる定数なので  ∫{1/(x^2+2bx+c)}dx という不定積分を考えればいいですね。 b,cの値によって積分法が異なります。 すなわち、#2さんも言われていますが、 分母=0の判別式の正,負,0(つまり異なる22個の解を持つ場合、共役な2個の虚数解を持つ場合と重解を持つ場合)の3つのタイプによって 積分法がまったく異なりますので 3タイプの場合分けが必要です。 [i] x^2+2bx+c=0が重解を持つとき(判別式:b^2-c=0のとき) 一般の場合はx+b=tとおいて置換積分すればいいです。 具体的な代表例としてa=b=c=1のとき ∫f(x)dx=∫{1/(x+1)^2}dx x+1=tとおいて置換積分すればよく ∫f(x)dx=∫{1/t^2}dt=∫{t^(-2)}dt=-t^(-1)+C 元のxに戻して =-1/(x+1) +C とF(x)=-1/(x+1) が求まります。 [ii] x^2+2bx+c=0が異なる2個の実数解を持つとき(判別式:b^2-c>0のとき) 分母を因数分解して、部分分数分解して積分してやれば良いです。 すなわち,「1/(x+p)のタイプの積分⇒log|x+p|+C」になる。 具体的な代表例としてa=1,b=-1,c=-3のとき ∫f(x)dx=∫{1/(x^2-2x-3)}dx =∫{1/((x+1)(x-3))}dx (x≠-1,3) 部分分数分解して =(1/4)∫|(1/(x-3))-(1/(x+1))}dx =(1/4){log|x-3|-log|x+1|}+C =(1/4)log|(x-3)/(x+1)}+C とF(x)=(1/4)log|(x-3)/(x+1)} が求まります。 [iii] x^2+2bx+c=0が共役な2個の虚数解を持つとき(判別式:b^2-c<0のとき) 一般の場合はx+b=t、t=tan(u)とおいて置換積分すればいいです。 具体的な代表例としてa=1,b=-1,c=2のとき ∫f(x)dx=∫{1/(x^2-2x+2)}dx =∫{1/((x-1)^2+1)}dx x-1=tとおいて置換積分 =∫{1/(t^2+1)}dt 更に t=tan(u)(|u|<π/2)とおいて置換積分 =∫{(1/(1+tan^2(u)))sec^2(u)}du =∫du=u+C もとの変数t,xに戻すと =tan^-1(t)+C =tan^-1(x-1) +C とF(x)=tan^-1(x-1)(tan^-1(・)は・のアークタンジェントです) が求まります。 >単純にa,b,c,dとxだけで表現できる1つの関数にはならないと言うことですか? その通り。 2次関数分の1の関数の積分は、上記のように、分母=0の判別式の正,負,0によりF(x)の関数形がまったく異なるので、F(x)はa,b,c,dによる1つの関数F(x)にはなりません。 上述の3タイプのf(x)の積分のやり方を、上述の具体例を参考に、しっかり覚えてものにしておきましょう。

oshieteyooo
質問者

補足

ありがとうございます。 logやアークタンジェントが出てくる理由が今一つわからないのですが… この計算は大学の数学科のレベルでしょうか? 高校の数学や工学部の大学の数学で習った記憶がございません。 忘れてるだけ、もしくはちゃんと勉強してなかっただけでしょうか?

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  • 178-tall
  • ベストアンサー率43% (762/1732)
回答No.2

>単純にa,b,c,dとxだけで表現できる1つの関数にはならないと言うことですか? そうみたいですね。 >f(x)=a/(bx^2+cx+d) の {a, b, c, d} は実数として、a/b は ∫ の外へ出せるでしょうから、  f(x)=1/(x^2 + Cx + D) を考えると、分母二次式の零点は、  ・相等しい二つの実根  ・相異なる二つの実根  ・互いに共役な二つの複素根 の三ケースあり得ますネ。 それぞれについて「F(x) の求め方」があるようです。    

oshieteyooo
質問者

補足

ありがとうございます。 この計算は大学の数学科のレベルでしょうか? 高校の数学や工学部の大学の数学で習った記憶がございません。 忘れてるだけ、もしくはちゃんと勉強してなかっただけでしょうか?

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  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

url(P9)にあるように分母の2次式が実数根を持つ場合と、持たない場合で結果は違ってきます。

参考URL:
http://www.h6.dion.ne.jp/~ooya/Suugaku/KoushikiSekibun.pdf
oshieteyooo
質問者

補足

単純にa,b,c,dとxだけで表現できる1つの関数にはならないと言うことですか?

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