重積分の問題なのですが・・・。

質問

重積分の問題なのですが・・・。

∬(y-6)(x^2+y^2)^(1/2)dxdy
積分区間はx^2+y^2<=4です。

x=rcosθ, y=rsinθとおいて、積分区間の条件より
0<=r<=2, 0<=θ<=2πとおける
さらにこのときdxdy=rdrdθとなる

与式=∫[o<-2π]∫[0<-2]{rsinθ-6)(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)^(1/2)}rdrdθ
　　=∬{(rsinθ-6)r^2}drdθ
　　=∫[1/4sinθr^4-2r^3](0<-2)dθ
　　=∫(4sinθ-16)dθ
　　=[-4cosθ-16θ](0<-2π)
　　=(-4-32π)-(-4)
　　=-32π

とマイナスになってしまいました、どこが間違えているのでしょうか？
すみませんがよろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>とマイナスになってしまいました、どこが間違えているのでしょうか？

「-32π」で合っています。
積分領域で被積分関数が負になっていますので、積分値は当然負になります。

お礼

ありがとうございました、たしかに積分領域に負の範囲が明らかにありますね・・・。