角の二等分線と角の問題について

質問

図形の問題で困っている事があります。

添付した写真にある図形のxの角度を求めよという問題だったのですが、
回答を見ると写真にある様な公式が記載されていました。

考えてみたのですが、なぜそうなるのか過程、理屈が分かりませんでした。

どうか教えて頂けますでしょうか？
宜しくお願い致します。

回答No.2

Pochi67 · ベストアンサー

三角形の内角の和は180°
　　　180°＝ ∠A＋∠B＋∠C　　　(1)
　三角形ｘBCも、内角の和は180°
　　　180°＝ 1/2（∠B＋∠C）＋∠x
　2を掛ける
　　　360°＝ ∠B＋∠C＋2∠x
　整理して
　　　 ∠B＋∠C ＝ 360°－2∠ｘ
　(1)に代入
　　　180° ＝ ∠A＋（ 360°－2∠ｘ）
　2で割る
　　　90°＝ 1/2∠A＋180°－∠ｘ
　整理して
　　　∠ｘ ＝ 90°＋1/2∠A

　図には書いていないけれど、三角形のA以外の頂点を仮にB、Cとする
　　　∠ｘBC ＝ 1/2（180°－∠ABC）　　　(2)
　同様に
　　　∠ｘCB ＝ 1/2（180°－∠ACB）　　　(3)
　三角形の内角の和は180°
　　　180°＝ ∠ｘBC＋∠ｘCB＋∠ｘ
　(2)(3)を代入
　　　180°＝ { 1/2（180°－∠ABC）}＋{ 1/2（180°－∠ACB）}＋∠ｘ
　　　180°＝ 180°－1/2（∠ABC＋∠ACB）＋∠ｘ
　　　∠ｘ ＝ 1/2（∠ABC＋∠ACB）　　　(4)
　三角形の内角の和は180°なので
　　　180°＝ ∠A＋∠ABC＋∠ACB
　　　∠ABC＋∠ACB ＝ 180°－∠A
　(4)に代入して
　　　∠ｘ ＝ 1/2（ 180°－∠A）
　　　∠ｘ ＝ 90°－1/2∠A

　なーんかややこしい手順になってしまったけど、こんな感じ？

お礼

とても分かり易かったです。
お早い回答ありがとうございました。

回答No.4

noname#227653

ひとつめの問題です。
ア＋ア＋イ＋イ＋ウ＝180度ですね。
またア＋イ＋エ＝180度です。
とするとエ＝ア＋イ＋ウですね。
また、ア＋ア＋イ＋イ＋ウ＝180度なのですから、これ２で割ると、ア＋イ＋ゥ/2＝90度ですね。
とすると、エ（＝ア＋イ＋ウ）は90度（＝ア＋イ＋ゥ/2）よりウ/2だけ大きいことになりますね。ア＋イ＋ウ－（ア＋イ＋ゥ/2）＝ゥ/2　ということです。だからエは90度＋ゥ/2、ということになるのです。

ふたつめです。
外角の定理を使うと、ア＋ア＝ウ＋エですね。同様にイ＋イ＝ウ＋オです。このふたつの式をあわせると、ア＋ア＋イ＋イ＝ウ＋ウ＋エ＋オですね。そして、ウ＋エ＋オは三角形の内角で180度ですから、今の式の「ウ＋エ＋オ」の部分を180度に変えましょう。するとア＋ア＋イ＋イ＝ウ＋180度になりますね。この両辺を２で割ると、ア＋イ＝ゥ/2＋90度なります。
そして、ア＋イ＋カも三角形の内角で180度です。ア＋イは90度よりゥ/2だけ大きいのですから、カは90度よりゥ/2だけ小さいことになりますね。だからカ＝90－ゥ/2、ということになるのです。

以上ですがいかがでしょうか。

お礼

まだ色々な考え方があるとしか整理しきれていませんが、読んでみてとても分かり易かったです。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#190065

図を載せられないので心もとないのですが、まず最初の方。
∠xを∠BOCとして、COの延長して辺ABとの交点をEとする。ここで、「三角形の２つの内角の和は、それ以外の内角に対する外角に等しい(＊)」という、意味のとりにくい性質を使うと証明できます。∠B, ∠C の二等分線の等しい角ををそれぞれa, b とでも置いて考えてください。
(＊)については、http://pothos.main.jp/html/naikakugaikaku.htm参照。

　次のも同様に証明できます。∠Aのある方の三角形を△ABCとして、証明できます。この内角と外角の関係は、あなたが中学生なら、高校入試問題でよく使います。特に円の問題では、必須ですので、自力で証明をしてみてください。角度をa, b などと置いて操作するのも大切ですので、慣れるためにもがんばりましょう。

お礼

何とか数をこなして証明について勉強してみようと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

tatata-0000

たぶんもっとエレガントな証明があると思いますが、
ちょっと考えてみたところ、力ずくでも導けました。

１
角CABの角度をa、角ABCの角度をb、角BCAの角度をcとする。
三角形の内角の和は180だから、大きい方の三角形に注目して、
a+b+c=180
b+c=180-a
1/2(b+c)=90-1/2・a
ここで小さい方の三角形に注目すれば、
x=180-1/2(b+c)
すなわち
x=180-(90-1/2・a)
よって
x=90+1/2・a

２はめんどくさいからやってませんけど、結局同じことじゃないですかね。
「三角形の外角の和は360だから」から始まって、
それぞれの角を足したり割ったりして、最後に右側にできた三角形に注目すれば、
公式が導けると思います。こっちは申し訳ないけど自分でやってみてください。

お礼

2問目は自分で解いてみて、何とか出来ました。
お早い回答ありがとうございました。