数学Iの角の二等分線の方程式を求める。

質問

２直線x-2y+5=0,2x-y+3=0の交角の２等分線は2つ存在する。
この２つの二等分線の方程式を求めよ。
この問題で、自分は答えを見ながらといていたのですが、まず
点（X,Y)とおいて
二等分線=二等分線の点と２直線の距離が等しいので、分母がルート
分子が絶対値の公式に当てはめて＝で結ぶのはわかりました。
その次に計算していき絶対値をはずすと
[ⅰ]X-2Y+5=2X-Y+3
→ X+Y-2=0
[ⅱ]（絶対値がマイナスの場合）
X-2Y+5=-(2X-Y+3)
→ 3X-3Y+8=0
より求める方程式は
x+y-2=0,3x-3y+8=0になると書いてあるのですが、
なぜ？＝で結んだものをといたら方程式となるのですか？
＝で結んだのは距離だと思うのですが、なぜでしょうか？教えてください。XとYをといたらその点がわかると思うのですが、ぜひ教えてください。

回答No.3

0lmn0lmn0 · ベストアンサー

＞＞　　　＝で結んだものをといたら方程式と・・・。

定点と見るか、動点と見るかです。
(X,Y)と置いた瞬間に、
動点と感じれば疑問は起きないと思います。

距離の公式における　一点は、
定点であっても、動点であっても構いません。
テキストでは、
(a,b)と置くと定点に見えるので、
丁寧に、動点と見えるように(X,Y)と置いています。

言い換えると、
これは、軌跡を求めています。
軌跡と感じれば、自ずから（X,Y)は動点です。

また、図を描いて見ると、
定点ではなく、動点である事もわかります。

＞＞XとYをといたらその点がわかる・・・。

[ⅰ]　X+Y-2=0
[ⅱ]　3X-3Y+8=0　の連立方程式を解くという意味であるなら、

[ⅰ]かつ[ⅱ]ではありません。

だから、解いても意味はありません。
たとえ、解いたとしても、
最初に与えられた、
２直線x-2y+5=0、2x-y+3=0　の交点に一致するのみです。
この事も図を描いて見ると判ります。

正しくは、

[ⅰ]または[ⅱ]です。
X+Y-2=0、または　3X-3Y+8=0　だから、
約束に従って、x,y　に書き直して完了となります。

補足

[ⅰ］または［ⅱ］だったのですか。
ですが、何故［ⅰ］または［ⅱ］なのですか？
交角が2つ存在するからでしょうか？
X+Y-2=0,3X-3Y+8=0
がなぜx,yに書き直しが可能なのでしょうか？
わかりそうで分からないです。あと一歩で分かるような気がします。

回答No.2

koko_u_

>まず点（X,Y)とおいて
(X, Y) が「何か」把握できていますか？「答え」には何も述べられていませんか？

>なぜ？＝で結んだものをといたら方程式となるのですか？
計算だけを追っていると何をしているかを見失なうでしょう。

骨格だけ説明すると
1. 求める2等分線上の点(X, Y)が満たすべき関係式を考える。
　⇒ この場合は 2直線への距離が等しい
2. 関係式が簡単な方程式に変形できないか考える。
　⇒ 「答え」に延々記載されている計算

これだけです。重要なのは、

1. で考える (X, Y) の関係式が「過不足のないもの」であること
2. で変形した関係式が「元の関係式と同値であること」です。

極端な話、1. で求めた関係式が「2等分線の方程式だ」と強弁することも可能です。
でも 2等分線は直線の方程式×2個 に簡略化できることは明らかなので 2. でそれを具体的に求めています。

回答No.1

take_5

勘違いしているようです。

2等分線上の点をＰ（α、β）とする。
点Ｐから2つの直線までの距離が等しいから、点と直線との距離の公式より、｜α-2β＋5｜/√5＝｜2α-β＋3｜/√5。
従って、｜α-2β＋5｜＝｜2α-β＋3｜。
結果は、α-2β＋5＝±（2α-β＋3）。