角の二等分線

質問

2つの直線をl:3x-4y+3=0、m:4x+3y-6=0とする
点P(X、Y)と直線lとの距離と、2直線l、mのなす角の二等分線の方程式を求めよ

lとPとの距離は|3X-4Y+3|/5
mとPとの距離は|4X+3Y-6|/5
なのはわかりますが、角の二等分線の方程式はどう求めるのでしょうか？

回答No.6

Tacosan · ベストアンサー

一応念のためですが, 絶対値を含む式の場合は #2 のように 2乗するのが一般的な手法です. 「複号をつけることで絶対値を外す」ことができる場合もありますが, それは「たまたま」と思った方がいいです.

実際, 今の例でも「たまたま」うまくいっています. 本当は
|3X-4Y+3|/5=|4X+3Y-6|/5
から
絶対値を外すときに 3X-4Y+3 や 4X+3Y-6 の符号を意識する必要があります. その符号によって両辺の複号の選び方が変わり, 一般には変な選び方をすると不都合が生じたりします.

この例の場合に「たまたま」うまくいったのは
・(交わる) 2直線がなす角は 4つある
・4通りの複号の選び方が, その 4つの角それぞれの二等分線に対応する
・向かい合う角同士の二等分線は「結果的に」 1本の直線になる
という事情があるからです.

お礼

補足色々ありがとうございました
ためになりました

回答No.5

suko22

＃２です。

もう少し補足です。

質問者さんのように絶対値を場合分けしないで±ではずすことに違和感を感じていま調べていたら、こんなことがわかりました。一応備忘記録として書いておきます。参考にしてください。

|A|=|B|が成り立つとき、
両辺を2乗すると、絶対値の性質（|A|^2=A^2）より絶対値が外れて、
A^2=B^2
A^2-B^2=0
(A-B)(A+B)=0
A=B,-B

この結果から両辺が絶対値の方程式は、絶対値ののなかが正か負かの場合わけをすることなく以下のようにはずせることがわかる。
|A|=|B|
A=±B

私自身勉強になりました。いい質問ありがとうございました。

回答No.4

suko22

＃2です。

補足です。

＞(3X-4Y+3)^2=(4X+3Y-6)^2
左辺-右辺＝0にして、
a^2-b^2=(a-b)(a+b)の公式で因数分解したらもっと簡単にでますね。
今気付きました。計算はいろいろ工夫してみてください。

回答No.3

Tacosan

両辺の ± は任意に選べるので本当は 4通り考えなきゃならんのだけど, 今の場合「結果的に同じ」ものが 2通りずつある (確認してみて). なので, 両辺が同符号の場合と異符号の場合とにわけてそれぞれ整理.

お礼

ありがとうございました

補足

確かに被ります
答えはX+7Y-9=0と7X-Y-3=0になりました

回答No.2

suko22

絶対値は適当にはずしてはいけません。わけがわかなくなります。
|a|^2=a^2と絶対値は2乗すれば絶対値記号がはずせます。

だから、(lとPとの距離)^2=（mとPとの距離)^2で計算すればよいです。

|3X-4Y+3|^2/5^2=|4X+3Y-6|^2/5^2

(3X-4Y+3)^2=(4X+3Y-6)^2

これを展開公式で展開し、Xについて整理して因数分解すると、
(X+7Y-9)(7X-y+3)=0

よって、X+7Y-9=0,7X-Y+3=0

計算は自分でやってみてください。

お礼

ありがとうございました

補足

２乗がコツですね
分かりました

回答No.1

Tacosan

角の二等分線上の点は角をなす 2直線との距離が等しい.

補足

|3X-4Y+3|/5=|4X+3Y-6|/5
±(3X-4Y+3)/5=±(4X+3Y-6)/5
±(3X-4Y+3)=±(4X+3Y-6)

ここからどうすればよいでしょうか？