この問題の解き方がどうしてもよくわかりません。

質問

こんにちは。
お世話になります。

表題にありますように、下記の問題の解き方がどうしても理解することができません。

問：
あるホテルには、A、B、C3タイプの部屋が合計28あり、Aタイプ１部屋の定員はBタイプ１部屋の定員の2倍、Cタイプ１部屋の定員の３倍である。
今、Aタイプの部屋数はそのままにして増築し、Bタイプの部屋数を6倍、Cタイプの部屋数を9倍にしたところ、収容できる定員が以前の3倍となった。このホテルにあるAタイプの部屋数として正しいものは、次のうちどれか。

解説には、
「Aタイプ、Bタイプ、Cタイプの部屋の定員が書いてありませんね。
それぞれ、6人、3人、2人として考えましょう。
よって、定員は、6ｘ＋3ｙ＋2z（人）」

とあります。
お恥ずかしい話ですが、問題文を見ましても、解説を読みましても、なぜ、
解説にあるように6ｘ＋3ｙ＋2zが導き出せるのかが全く分かりません。
どうやったら、「それぞれ、6人、3人、2人として考えましょう。」という仮定を立てることができるのでしょうか？

どなたか、教えては下さいませんでしょうか？

宜しくお願いいたします。

回答No.2

Nebusoku3 · ベストアンサー

＞解説にあるように6ｘ＋3ｙ＋2zが導き出せるのかが全く分かりません。どうやったら、「それぞれ、6人、3人、2人として考えましょう。」という仮定を立てることができるのでしょうか？

「Aタイプ１部屋の定員はBタイプ１部屋の定員の2倍、Cタイプ１部屋の定員の３倍である。」　という文章があります。 この３つの条件を満たすのが最小公倍数の　６　と言う数字ですね。
これを思いつくのがポイントです。
●6ｘ＋3ｙ＋2z　で　
１）x はAタイプの部屋数で、定員は上の文章から、一番多い 6 を取ります。 Aの総定員数は6x ですね。
２）y　は　Bタイプの部屋数で、定員は上の文章　”Aタイプ１部屋の定員はBタイプ１部屋の定員の2倍”　から、逆算してAタイプの1/2　である　3　を取ります。 B の総定員数は 3y ですね。
３）z　は　Cタイプの部屋数で、定員は上の文章　”Aタイプ１部屋の定員はCタイプ１部屋の定員の３倍”　から、逆算してAタイプの1/3　である　2　を取ります。 C の総定員数は 2z ですね。
これらを合算したもの　6ｘ＋3ｙ＋2z　が以前のホテルの総収容人数になります。

蛇足：
新しいホテルの収容人数はその3倍になったとの事から　
3(6ｘ＋3ｙ＋2z) = 6x + 3(6*y) + 2(9*z) 　となるのですね。（(6*y) →Bの部屋数を6倍、(9*z) →Cの部屋数を9倍と言う意味）　となります。

お礼

丁寧かつ詳細なご説明、有難うございます。
最小公倍数を使うとは、思いもよりませんでした。
ご説明を拝見いたしまして、謎がすっかり解けました。
本当に有難うございました。

回答No.6

m2052

人数と部屋数ですから正の整数だけを問題にするとＡは6人、Ｂは3人、Ｃは2人と考えるのが最小です。もちろん、この比率であれば成り立ちますが、仮定として最小の数を取り上げています。

定員は、６×Ａの部屋数＋３×Ｂの部屋数＋２×Ｃの部屋数で、それぞれの部屋数をｘ、ｙ、ｚとすれば「定員は、6ｘ＋3ｙ＋2z（人）」になります。

もし、Aタイプの部屋数を答える問題でしたら、質問文に取り上げられた部分だけでは各タイプの部屋がいくつあるかは解けません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご解説を拝見いたしまして、やっと納得することができました。
何度も同じ問題を解いて、完璧に理解したいと思います。
ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

ちなみに、答えが k の値によらないという事実は、
それ自体何らかの説明を必要とするので、
勝手に k = 1 に限定した答案では、k ≧ 2 でも
同じ答えになるのか？ という批判を受けかねません。
そこを答案中で説明するぐらいなら、
各部屋の定員を 6k人, 3k人, 2k人 と置いたほうが、
一般性を欠く心配が無く、話の流れがスッキリしている
と思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご解説を拝見いたしまして、より、問題に対する理解を深めることができました。
本当にありがとうございました。

回答No.4

alice_44

6人、3人、2人と仮定する必要はありません。
A の定員が 6 の倍数なので 6k と置くと、
B, C の定員は 3k人、2k人になります。このように、
A, B, C の定員を 6k人, 3k人, 2k 人と置いて、
以下、質問文中と同じように解くと、
k は途中でうまく消えて、ちゃんと
答えが求まります。
特に k = 1 と仮定しなければならない理由は
ないのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
いつも助けて下さり、本当に感謝しております。
ご解説を拝見いたしまして、納得がいきました。
ありがとうございました。

回答No.3

ali_yuki

＞Aタイプ１部屋の定員はBタイプ１部屋の定員の2倍
この文で、　
もし、Ｂ定員が１人ならＡ定員は２人
Ｂ定員が２人ならＡ定員は４人
Ｂ定員が３人ならＡ定員は６人
Ｂ定員が４人ならＡ定員は８人
と分かります

＞……Cタイプ１部屋の定員の３倍である。
この文で、　
もし、Ｃ定員が１人ならＡ定員は３人
Ｃ定員が２人ならＡ定員は６人
Ｃ定員が３人ならＡ定員は９人
Ｃ定員が４人ならＡ定員は12人
と分かります

これらの中で、Ａ定員が共通なのは６人です、そして時のＢ定員は３人、Ｃ定員は２人ですので、
ここまでの文章中で矛盾が無い数字として
「それぞれ、6人、3人、2人として考えましょう。」となります

例えば、12人、6人、4人でも間違っていませんが、
数字が小さい方が計算が楽な事が多いので6人3人2人と仮定しています

お礼

丁寧かつ詳細なご説明、ありがとうございます。
ご解説を拝見いたしまして、合点がいきました。
本当にありがとうございました

回答No.1

soixante

定員はどうでもよくて、

(1)　Aタイプ１部屋の定員はBタイプ１部屋の定員の2倍
(2)　Aタイプ１部屋の定員はCタイプ１部屋の定員の３倍である

これだけ分かればよいからです。
なぜなら、最終的にも、

「収容できる定員が以前の3倍となった」　とあるだけで、人数は関係ないのです。

もともとの定員が100人だったものが300人になったのかもしれないし、
もともとの定員が500人だったのが1500人になったのかもしれません。

したがって、上記の(1)、(2)　だけ押さえておけばよいです。

問題文から、最小単位となるのは　C　の定員だと思います。

仮に　Cの定員を1人と想定すると、Aは3人となります。
しかし、Aが3人ならば、Bを考えると、1.5人となり、小数を使うのは美しくないからとでもいう理由で、6,3,2人という設定にしたのでしょう。

別に、3x + 1.5y + z でもいいですし、
または　60x + 30y + 20z でもいいのです。

で、結局
>Aタイプの部屋数はそのままにして増築し、Bタイプの部屋数を6倍、Cタイプの部屋数を9倍にした

わけなので、

6x + 3(6y) + 2(9z)　が増築後の定員。

それが元の定員の3倍になったというのだから、 3(6x+3y+2z)

6x + 3(6y) + 2(9z)＝3(6x+3y+2z)
6x + 18y + 18z = 18x + 9y + 6z
12x -18y -12z=0
2x - 3y - 2z =0

仮に、60x + 30y + 20z　をもとにスタートしたところで、結局ここに落ち着くはずです。

したがって、x,y,z の係数の比率が、6：3：2　になってればどの組み合わせでもよいです。