数学の難問です

質問

10と互いに素な異なる2つの正の整数p,q(p>q)が次の条件を見たしているとき、pとqの和の桁数の最小を求めよ。
 1 p-qは10の倍数である
 2 p^100-q^100は10^100の倍数であ る

回答No.2

lupinletrois

「互いに素」「10の倍数」より p,q の下1桁は同じで 1,3,7,9

p^100-q^100 を因数分解すると

(A) (p^40-p^30 q^10+p^20 q^20-p^10 q^30+q^40)
(B) (p^20+p^15 q^5 +p^10 q^10 +p^5 q^15+q^20)
(C) (p^20-p^15 q^5 +p^10 q^10 -p^5 q^15+q^20)
(D) (p^8 - p^6 q^2 + p^4 q^4 - p^2 q^6 + q^8)
(E) (p^4 + p^3 q + p^2 q^2 + p q^3 + q^4)
(F) (p^4 - p^3 q + p^2 q^2 - p q^3 + q^4)
(G) (p^2 + q^2)
(H) (p + q)
(J) (p - q)

(A)(C)(D)(F)は2の倍数でも5の倍数でもない
(B)(E)は5の倍数で、2の倍数・25の倍数でない
(G)は2の倍数で、4の倍数・5の倍数でない
(H)は2の倍数で、5の倍数でない
(J)は10の倍数

p^100-q^100 が 10^100 の倍数となるには、
(H)*(J) で 2*10^98 の倍数。
最小とするには
(H)が 2^98 の倍数、(J)が 2*5^98 の倍数

p-q = 2*5^98 が最小で q も小さい値で求めると

p=
631088724176809444329382852226228983738584052878994257499571822062233
q=18904791775853683348677530983

これは数値計算しにくく作っているだけで美しくない問題です。
桁数だけを要求しているのが苦し紛れ。
(桁数だけを求める問題がすべて悪いわけではない)

回答No.1

Tacosan

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