数学、整数問題がわかりません

質問

p［1］とq［1］、p［2］とq［2］は互いに素の整数（ただしp［1］、p［2］はともに2以上、q［1］、q［2］はともに0でない）とする。

I＝（p［1］q［2］＋p［2］q［1］）/p［1］p［2］
が整数ならば、p［1］＝p［2］を示せ。

今日の入試問題ですが解けませんでした。解答の流れを教えてください！

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

I＝（p［1］q［2］＋p［2］q［1］）/p［1］p［2］
両辺にp[1]p[2]をかけると

p[1]p[2]I = p［1］q［2］＋p［2］q［1］

この等式の左辺から、p［1］q［2］＋p［2］q［1］は
(1) p[1]の倍数
(2) p[2]の倍数
である事が分かります。

p［1］q［2］＋p［2］q［1］がp[1]の倍数になるためには、
p［1］q［2］の項がp[1]の倍数になっているので、
p［2］q［1］がp[1]の倍数にならないといけません。
でもq［1］はp[1]と互いに素なので、p［2］q［1］をp[1]の倍数にするには
p[2]がp[1]の倍数である必要があります。 … (3)

同様にp［1］q［2］＋p［2］q［1］がp[2]の倍数になるための条件を考えると、
p[1]がp[2]の倍数である必要がある事が分かります。 … (4)

(3), (4)の2つの条件を同時に満たすのは、p[1] = p[2]の時となります。

お礼

ありがとうございます!どうやら（２）の条件を逃したみたいです。国立ではばっちりとれるよう穴を埋めておきます

補足

20:40に締め切ります

回答No.2

mmegganne

I=(p[1]q[2]+p[2]q[1])/p[1]p[2]
これが整数なので、分母が分子を割りきっています。
　　p[1]p[2]｜(p[1]q[2]+p[2]q[1])
　　　　　　　↑
　　　　　　　左が右を割りきる、という記号

当然、p[1]｜(p[1]q[2]+p[2]q[1])(*)かつ、p[2]｜(p[1]q[2]+p[2]q[1])(**)
　　なぜなら、abがcを割り切るとき、c=abn
abnはaで割り切れる、かつbで割り切れる。

(*)をかんがえます。
(p[1]q[2]+p[2]q[1])/p[1]=q[2]+(p[2]q[1])/p[1]
これが整数になるということ。
なので、p[2]q[1]/p[1]が整数でないといけません。
　　　q[1]はp[1]で割り切れないので、p[2]がp[1]で割りきられています。
　　　　よって、p[1]｜p[2]

(**)について、(*)と同様に、
　　　　　　　　p[2]｜p[1]

以上から、p[1]、p[2]はお互いにお互いを割り切っています。
　　　　　この条件を満たすp[1]、p[2]は、p[1]=p[2]のときです。

割り算の答えが整数になるのは分母が分子を割りきっているときです。
そこから、割り切るということがどういうことなのか、順を追って、かんがえていくと
いいでしょう。
あとは互いに素、というのは整数では重要な条件です。確認しておいてください。

お礼

ありがとうございます！よく見直して本命の大学に備えます！