数学です

質問

教えて下さい。

(1)１、８、１５のように差が７である3つの整数の和は3の倍数であることが成り立つわけを文字を使って説明して下さい。

(2)奇数と奇数の和は偶数であることが成り立つわけを文字を使ってせつめいしてください。

(3)５でわると２余る整数と、５でわると3余る整数との和は５でわり切れるということが成り立つわけを文字を使って説明して下さい。

回答No.6

s_chiba · ベストアンサー

1) 3つの数a,b,cを数式で表すと、
　a = n-7
　b = n
　c = n+7 (nは整数)となる。
　これら3つの数a, b, cの和は、
　a + b + c = n - 7 + n + n + 7 = 3n
　となるから、3つの差が7の数の総和は、3の倍数であると言える。

2) 文字を使って説明せよというのがちょっと引っかかるが…
　奇数を式で表すと、
　奇数　a = 2n + 1 (nは整数)
もう一つの奇数を
　　　　b = 2m + 1 (mは整数)
　と表すと、2つの奇数の和は、
　a + b = 2(n + m) + 2
　　　　= 2(n + m + 1) (n,mは整数)
　となり、2の倍数、つまり、偶数となる。

3)　2つの数xとyを数式で表すと、
　x = 5n + 2
y = 5n + 3 (nは整数)
　となる。
　よって、
　x + y = 10n + 5
　　　　= 5(2n + 1)
となり、2つの数の和は5の倍数となる。つまり、５で割り切れる。

回答No.7

alice_44

(1) 等差な三項の和は、中央の項の３倍だから、
　　中央の項が整数であれば、３の倍数である。
(2) 奇数を２で割ると１余るので、奇数＋奇数を
　　２で割ると１＋１余…らないで、割りきれる。
(3) ５で割ると２余る数と５で割ると３余る数の
　　和は、２と３の和を５で割った余り０である。
…日本語の文字を使って説明してみた。

回答No.5

halcyon626

(１)
まず３つの整数の内、最も小さい数をｎ(ｎ＝１，２，３、・・・)とします。
題意より、ｎを使って差が７である整数を３つ表すと、
ｎ、ｎ＋７、ｎ＋１４
となります。
この３つの整数を足すと、３ｎ＋２１＝３(ｎ＋７)
３(ｎ＋７)となるので、３つの整数の和は３の倍数になります。

(２)
まず、整数ａ(ａ＝１，２，３，・・・)と整数ｂ(ｂ＝１，２，３、・・・)を使って奇数を表します。
２ａ＋１、２ｂ＋１
この２つの奇数の和を求めると、２ａ＋２ｂ＋２＝２(ａ＋ｂ＋１)
よって、奇数と奇数の和は偶数となります。

(３)
まず、整数ｘ(ｘ＝１，２，３、・・・)とｙ(ｙ＝１，２，３、・・・)を使って、５でわると２余る整数と、５でわると３余る整数を作ります。
５ｘ＋２、５ｙ＋３
この２つの整数の和は、５ｘ＋５ｙ＋５＝５(ｘ＋ｙ＋１)

とまあ、こんな具合。
３の倍数とか３で割り切れるとか意味が分からないのかもしれませんが、要は３で割り切れる数は何かの３倍だと言うことです。
２１は３で割り切れるのは、７の３倍だから。とかそんな感じ。
２１＝３×７で考えれば、２１は３が掛けられた数字だから、逆に３で割り切れるのは分かりますよね？
だから３で割り切れるとあったら、３(○＋●)とか証明したら、３の倍数なので３で割り切れるのです。
５で割って２余るなら、５△＋２、５(■＋□)＋２となります。

(２)に関して、何故２倍をしたかと言うと、２倍にすると必ず偶数になるから。
２倍をせずに１を足しても、ａやｂが奇数だったら偶数になります。
その点、２ａ、２ｂは必ず偶数になるので、それに１を足すと奇数。
そして和にして、偶数であることを証明するには、２の倍数であることを証明します。
２の倍数は全ての偶数なので、先と同じように２の倍数であることが証明出来れば、それは偶数になります。

文字に関しては、良いでしょうか？
定数でない場合、この場合、差が７である３つの整数や、奇数などのたくさんある定数を、
不定数である文字を使って上手く表しました。

まあ、そんな感じ。
分からなくても、複写するだけで丸を貰えますよ。
参考までに、

回答No.4

1ypsilon1

NO.1です。たびたびすみません。
（１）の解答に間違いがありました。

今回は差が７である3つの整数なので
真ん中の数を ｎ とおくと、
前の数は　ｎ－７
後の数は　ｎ＋７　ですね。

最初の数を ｎとしてもいいんですが、真ん中の数を nとおいたほうが計算が楽ですね。

回答No.3

1ypsilon1

NO.1です。間違えがありました。
（１）です
７ｎ－６を真ん中の数と考えると、
前の数は、７（ｎ－１）＋１
後の数は、７（ｎ＋１）＋１

前の数は、７（ｎ－１）－６
後の数は、７（ｎ＋１）－６
でしたね！！すみません

回答No.2

eeb33585

(1)
三つの整数をm-7,m,m+7とおく（m=0,1,2,3・・・）。
それらを足すと、3mになる。
これは３の倍数である。
(2)
二つの奇数を2n+1,2m+1とおく。
それらを足すと、2(n+m+1)
これは偶数である。
(3)
Q/5-2=n
R/5-3=m
とおいて足してから変形すると
Q+R=5(n+m+1)
これは５で割り切れる。

回答No.1

1ypsilon1

高校生ならば、数列の考え方をもとに数字を文字式として変換すればよいのです。

（１）　１，８，１５，…＝７ｎ－６（ｎ＝１，２，３，４，…）　と表せ
７ｎ－６を真ん中の数と考えると、
前の数は、７（ｎ－１）＋１
後の数は、７（ｎ＋１）＋１
あとは、これらの三数を足したら、３でくくれるはずです。

（２）１つ目の奇数を　２ａ＋１、２つ目の奇数を　２ｂ＋１ のようにおきましょう。
あとは足し算ですが、ここでポイントは２つの奇数の文字を変えることです。

（３）５でわると２余る整数を　５ｘ＋２、５でわると3余る整数を　５ｙ＋３　のようにおく。
あとは同様に足し算です。

文字を同じにするか違う文字にするのかは重要なポイントです！！
お分かりですかね？