Σの途中計算

質問

(3)の和を求める計算の途中式を教えていただけると助かります。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

S=Σ(n=1,∞)5^n/n!=Σ(n=0,∞)5^n/n!-5^0/0!

5^0=1,0!=1なので

S=Σ(n=1,∞)5^n/n!=Σ(n=0,∞)5^n/n!-1=T-1 （0）

T=Σ(n=0,∞)5^n/n!

このTと一般の関数f(x)のマクローリン展開Mをひかくする。

M=Σ(n=0,∞)f~(n)(0)*x^n/n!　

ここにf~(n)はf(x)のn階微分係数、f~(n)(0)はn階微分係数のx=0における値である。また

f~(0)(0)=f(0))である。

すなわち

f~(n)(0)=[d^nf(x)/dx^n](x=0)

TとMを比較すると

x=5, f~(n)(0)=1　(n=0,1,....∞)

ならばTはMに一致する。

f~(n)(0)=1　　(n=0,1,....∞)　　　　(1)

を満たす関数f(x)は

f(x)=f'(x)=f''(x)=....f~(n)(x)　　(2)

を満たし、x=0における値が1ならばよい。

(2)の最初の式

f(x)=f'(x)を満たす関数は

f(x)=ce^x

である。

またこのf(x)は(2)をすべてを満たす。

従って(1)が成り立つためには

c=1

f(x)=e^x

である。x=5より

M=e^5＝T

よって（0）より

S=T-1=e^5-1

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
とてもたすかりました。