数と式 計算問題の解き方・考え方
数学の問題を解く際、解く人間は天才ではないので、なんらかのとっかかりをもって解きにかかるのが常道だと思っています。
次の問題ついて、解法が全く思い当たらず、解き方を見ても納得がいかないのですが、どのように解き方を検討するのが正しいのでしょうか？
x^3+y^3+z^3=3 (1)
x+y+z=3 (2)
が成立するとき
(x+y)(y+z)(z+x) (3)を求めよ
・私の考えた道筋
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1.未知数がx,y,zの3つで、与式がx,y,zに関する2つ。他に条件はなし。よって、x,y,zを個別に求めることはできない。(求まったとしても、各々の比まで)
2.与式も、求める式(3)も、対象式の形で成り立っている。そのため、基本対象式さえ分かってしまえば、値を簡単に求めることができる。
3.x,y,zに関する基本対象式は、x+y+z,xy+yz+zx,xyzの3つ。与式はたった2つだし、この3つはどうもうまく求まりそうにないな。最初の一つは分かってるから、どうにか(1)と(2)の変形で残り2つが判明すれば、求める式(3)を基本対象式に変形すれば何とかなりそうだぞ…
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→(1)を変形してから(2)を代入し、
xy+yz+zx=4の値を得ました。
(この時点で、基本対象式の1つが判明して安堵すると同時に、残り一つが分からないため、与式展開がうまくいかない、という予感は抱いています。xyzが判明していません。)
恐る恐る(3)を変形すると、12-xyzというところまで変形できました。案の定、xyzが求まらず、答えを求めるには至りません！
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この問題の解法はどのようにするのか、と思い、解答を見てみると、
１：(1)(2)を変形して、3(xy+yz+xz)-xyz=8を得る
２：(3)に(2)を代入して変形し、3(xy+yz+xz)-xyzを得る
３：１の結果を２に代入し、解８を得る
とありました。
解答の方法は非常に直感的方法であり、ある種のひらめきがないと解けない方法の気がするのですが、問題を一瞥した時点でこの解法にたどりつくには、どのような予測・指針の立て方が考えられるのでしょうか。
((1)、(2)で基本対象式のうち２つまで求まりそうだ、となった時点で、(3)も対象式だから、(1)、(2)のいずれかと組み合わせることで、基本対象式になりそうだから、その値と、(1)、(2)による基本対象式が等しければよい…というのは、単純に式変形の結果の結果論であり、予測が困難な気がしています。(それとも、この程度の式変形は頭の中で一瞬でするのが常識なのでしょうか? であれば、火星人のような人間しか解けない気がするのですが…))
是非、類似の問題(あるいは数学分野全体)に通じる考え方で、ご教授願います。
お礼
素早い解答ありがとうございます！ 上手く行きました。