高校数学の問題です

質問

0以上の実数s,tがs^2+t^2=1を満たしながら動くとき、
方程式x^4-2(s+t)x^2+(s+t)^2=0の解のとる値の範囲を求めよ。

解き方もよろしくおねがいしますm(_ _)m

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞x^4-2(s+t)x^2+(s+t)^2=0の解は左辺を因数分解して
{x^2-(s+t)}^2=0からx^2=s+t・・・・・(ア)
sを横軸tを縦軸とする直交座標を考えると、s^2+t^2=1は
原点(0,0)を中心とする半径1の円であり、s,t≧0だから
点(s,t)の動く範囲は、この半径1の円の第一象限の円弧上
になる。この座標系で(ア)はt=-s+x^2から傾斜がー1でt軸と
x^2で交差する直線になる。上記の第一象限の円弧とこの
直線が共通点を持つ範囲で直線が最も上になったときに
x^2は最大になり、直線が最も下になったときにx^2は最小
になる。図を描くと明らかになるが、直線が最も上になる
のは円弧に接したときである。円弧の半径が1だからこの
ときのx^2は√2であり、直線が最も下になるのは直線が
点(0,1)と点(1,0)を通るときなので、このときのx^2は1。
よって、答えは1≦x^2≦√2を満たすxの範囲となるので、
-2^(1/4)≦x≦-1及び1≦x≦2^(1/4)・・・答