数学の数列の問題です。

質問

(1)x^n+(1/x^n)-2は、x+(1/x)-2のn次の整式で表されることを証明せよ。(nは自然数)

(2)(1)の整式の1次の係数をCnとする。Cn+2をCn+1、Cnを用いて表し、Cnを求めよ。

この問題で、(1)の証明はできたのですが、
(2)の漸化式のたてかたすら分かりません!!解法をお願いします。

回答No.1

島崎 崇（@tadopika） · ベストアンサー

手強い問題ですね。

An = x^n +1/x^n -2 とおくと、
A1 = x +1/x -2

A(n+2) -A1*A(n+1) を計算すると、次の式が得られます。
A(n+2) -A1*A(n+1) = 2A(n+1) -An +2A1 .....[1]

(1)の証明ができたということは、[1]式が導き出せたのでしょうか?

[1]式に於いて、1次の係数（A1の係数）に着目すると、
C(n+2) = 2C(n+1) -Cn +2 .....[2]

ここで、An (n=1, 2, ...) の0次の係数は0のため、
A1*A(n+1) の項は1次の係数がないことに注意してください。

[2]式と、C1=1, C2=4 から、Cnの一般項を求めることができるでしょう。

補足

解答ありがとうございます。
[1]の式は導くことができたのですが、[1]の式に於いて、[2]の式がどうして導かれるのですか？
単純な質問だったらごめんなさい…

回答No.2

島崎 崇（@tadopika）

＞[1]の式は導くことができたのですが、[1]の式に於いて、[2]の式がどうして導かれるのですか？

正に、ここがこの問題の難所です。

試しに、A2を計算してみると、
A2 = x^2 -1/x^2 -2
= A1^2 +4A1 .....[3]
これは、A1の2次式ですが、1次の係数C2は4です。

又、A1 = A1 より、C1=1です。

A3は、[1]式でn=1として、
A3 = A1*A2 +2A2 +A1
[3]より、A3 = A1(A1^2 +4A1) +2(A1^2 +4A1) +A1
= A1^3 +6A1^2 +9A1
よって、C3=9 となります。

さて、A1, A2は、0次の係数（定数項）がありません。
すると、[1]式から、A3以降についても、定数項がないことが分かります。
その結果、A1*A(n+1) は、A1の2次以上の多項式となります。

以上の説明で、[1]から[2]が導かれる理由がつかめたでしょうか?

お礼

ようやく理解できました!!
ありがとうございます。