数列の問題について

質問

以下の問題を何度も考えてみましたが、なかなかいい方法が思いつかないので教えてください。

ｎを自然数として、f(x)＝1/2(x^n+1/x^n)と定めたときに、t=1/2(x+1/x)とおくときに、f(x)がtのn次の整数係数の整式T(t)になることを証明するという問題なんですが、漸化式をたてて帰納法で証明するとは思うのですが、よく分かりません・・・。

また、その続きの問題で、T(cosθ)=cosnθ (θは実数）ということを示すもですが、これも回転？でやればいいのかな？とは思うのですが、最初の問題ができないことには・・・。

回答お願いします。

回答No.2

sakura_214 · ベストアンサー

少し記号が混乱するので，f(x)→f_n(x)と書くことにします．また（証明できたらですが）T(t)→T_n(t)と書くことにします．

f_n(x)=1/2(x^n+1/x^n)

（前半）
n=1のとき，f_1(x)=t より題意成立．
n=2のとき，f_2(x)=(1/2)(x^2+1/x^2)=(1/2)(x^+1/x)*(1/2)(x^+1/x)*2-1=2t^2-1 より題意成立．
n=N-2,N-1のとき題意成立と仮定（すなわち，f_(N-2)(x)はtの(N-2)次の整式，f_(N-1)(x)はtの(N-1)次の整式と仮定）したとき，n=Nのとき
f_N(x)=(1/2)(x^N+1/x^N)=(1/2)(x^(N-1)+1/x^(N-1))*(1/2)(x+1/x)*2-(1/2)(x^(N-2)-1/x^(N-2))=2t*f_(N-1)(x)-f_(N-2)(x) ---(*)
より，これはtのN次の整式である．
以上より，任意の自然数nについて題意は成立する．

（後半）
n=1のとき，T_1(t)=t → T_1(cos(θ))=cos(θ) より題意成立．
n=2のとき，T_2(t)=2t^2-1 → T_2(cos(θ))=2cos^2(θ)-1=cos(2θ) より題意成立．
n=N-2,N-1のとき題意成立と仮定（すなわち，T_(N-2)=cos((N-2)θ),T_(N-1)=cos((N-1)θ)と仮定）したとき，n=Nのとき，(*)より
T_N(t)=2t*T_(N-1)(t)-T_(N-2)(t) → T_N(cos(θ))=2cos(θ)cos((N-1)θ)-cos((N-2)θ)=2*(1/2)(cos(Nθ)+cos((N-2)θ)-cos((N-2)θ)=cos(Nθ)
以上より，任意の自然数nについて題意は成立する．

上記の数学的帰納法は，どちらもn=Nの場合を導き出すのにn=N-1とn=N-2の２つを仮定するので，はじめにn=1,2で成立を確認する必要があります．
ちなみに，この問題によってcosのn倍角の公式は，f_n(x)を介してT_n(t)で与えられることがわかりますね．

お礼

どうもありがとうございました。とても参考になりました。
問題文中にあったのもf(x)ではなくf_n(x)でした。やはり混乱するのですね。

回答No.1

keyguy

(x+1/x)・(x^n+1/x^n)

x=exp(j・θ)