ブルバキ数学原論 集合論１の中の用語について

質問

ブルバキ数学原論　集合論１　ｐ１９の「証明」についての説明の中で

理論Ｆにおける「証明の全文」は次のものからなる：
１.Ｆの関係式や対象式に関する補助的な構成手続き：
２.Fの証明、すなわち、その補助的な構成手続き中に現れるＦの関係式の列で、その列に属す各関係式Ｒに対し、次の条件のうち少なくとも１つが成立するもの：
a1)RはＦの明示的公理である
a2)Ｒは補助的な構成手続き中に現れる対象式または関係式に対しＦのあるシェーマを適用して得られる：

とあったのですが「補助的な構成手続き」とは何のことを指しているのでしょうか？

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

ANo.3へのコメントについてです。

> b)その列の中でＲより前に二つの関係式Ｓ、Ｔがあり、ＴがＳ→Ｒである。

　(b)が意味するのは、この体系が推論規則として三段論法（SとS⇒RからRを導く）だけを許している、ということですね。ナットクです。
　となると、ANo.3で「シェーマ」を推論規則と読み替えたのは不正解だったな。どうやら「シェーマ」はそのまんまシェーマ（無限個の公理を生成する仕組み）を指しているんでしょう。例を挙げると「x=y⇒ (A(x)⇔A(y))」はそのような仕組みの一例であって、すなわち、A(x), A(y)を何か具体的な述語（たとえば ∅∈x, ∅∈y） に差し替えたものを公理とするわけです。

　というようなコマカイことはさておき、要点は変わりませんで、「補助的な構成手続き」とは証明そのもののこと。

お礼

回答ありがとうございました。今回のベストアンサーはランダムに選ばしていただきました。

回答No.3

stomachman

はるか昔のことですけど、図書館で数学原論をちろっと開いてみて、あーだめだこりゃ。よっぽど腰を据えないと読めないな、と思ったんでした。と、それはさておき。

　ご質問にお書きの部分をフツーの言い方にすれば：

> 「補助的な構成手続き」とは

証明のこと。
　「理論F」ってのはFの公理系から導ける定理全体のこと。
　「Ｆの関係式」ってのは要するに、閉じた論理式であって、公理および証明された定理（補題、系、その他モロモロもみんな含む。）のこと。
　「Ｆの対象式」ってのは（存在することが証明された）Fの定数のこと。（たとえば、 ιx(∀y(y∉x)) （これを略して"∅"）、というような。）
　「Ｆの関係式に関する補助的な構成手続き」すなわち「証明」ってのは、その定理に関する証明のこと。
　「Ｆの対象式に関する補助的な構成手続き」とは、対象式（ιxP(x)やεxP(x)）がフツーの意味で定数である（すなわち、なんだかわからんナニカ或る対象を指す、なんてのではなしに、具体的な対象を指している）ということの証明。言い換えれば、実質的には、その定数が指す対象が存在する、という命題（∃!xP(x)や∃xP(x)）の証明のことですよね。
　いずれにせよ「証明」つまり証明は、論理式を並べた列であって、その個々の論理式は (a1)Ｆの公理そのものであるか、あるいは、(a2)その証明の中に既出の論理式や定数に、或る「シェーマ」つまり推論規則（推論図式）を適用して構成したものであること。

　ひとつの用語の言語的な内部構造を詮索するのはナンセンスだけれども、それを承知で敢えて言ってみると、「補助的な構成手続き」って呼ぶのは、
ある定理をあらわす論理式に対して、証明はその論理式に＜付随する＞モノであり、その論理式を導き出すための＜手順＞になってる。証明の論理式の列は、定理を表す論理式で終わるわけで、だからこの列は末尾の論理式を＜構成する＞ための列である。こうして＜構成する＞ことがすなわち証明である。
というようなココロなんじゃないかなあ。

補足

すみません、抜けていた部分がありました（正しくはｂ）が加わります）

２.Fの証明、すなわち、その補助的な構成手続き中に現れるＦの関係式の列で、その列に属す各関係式Ｒに対し、次の条件のうち少なくとも１つが成立するもの：
a1)RはＦの明示的公理である
a2)Ｒは補助的な構成手続き中に現れる対象式または関係式に対しＦのあるシェーマを適用して得られる：
b)その列の中でＲより前に二つの関係式Ｓ、Ｔがあり、ＴがＳ→Ｒである。

回答No.2

noname#221368

#1さんと言ってることは同じと思いますが・・・。

　質問文の部分の後に「補助的な構成手続き」として、「補助仮定の方法（演繹法則）」「誤謬法（背理法）」「場合分けの方法」などが出てきます。それらに関連して、論理積や対偶も。

　これら「補助的な構成手続き」の方が、現実にやってる事だと思います。

回答No.1

uyama33

昔の話で、間違っているかもしれないが、、、そのときはごめんなさい。

Fにおける証明を、素数の性質に関するある証明とします。

対象となるのは、主に整数の全体でしょう。
整数とは何かを記述する必要があります、
その整数の中で素数を考えるのだから。

整数とは何かを記述したものが、補助的な構成手続き　になると思うのです。

たとえば、Nは集合である。Nは１を含む。Nがｋを含めば（ｋ+1）も含む
（素数とは何かを記述したものも必要ですね。）

と言うような記述が補助的な構成手続きだと理解しています。