ブルバキをお読みになったことがある方に質問です。

質問

一章の構成法則や理論における代入、演繹法則の証明で
”順次示していく””・・・を仮定して・・・”のような文があります。
この論理が正当化されるのは、ここでの記号列の列が有限であることから、
記号列AがAより前の記号列Bをもちいて書かれている
ということが無限に続くことが無いことから・・という事実があるからだと
思われますがもっとスマートな説明のしかたはないでしょうか？
構成法則や理論における代入ではこれをつかわない証明をかけるのですが、演繹法則のほうはできませんでした。もし演繹法則の証明でこの証明法を使わないものがあるなら解決するのですが。

例　Aを理論Tにおける関係式[対象式]、xおよびyを文字とする。このとき(y|x)Aは、Tにおける関係式[対象式]。

例の証明
A1,A2,・・・,An を構成手続きとし、そのなかにAがあらわれるものとする。Atを関係式[対象式]とし、
(y|x)Atが関係式であることを順次しめしていく。このことがA1,A2,・・・A(i-1)に対しては証明されたと仮定してAiに対して証明する。Aiが文字ならば、(y|x)Aiは文字。構成手続き中でAiよりまえに関係式Ajがあり、かつAiが￢Ajならば(1)によって(y|x)Aiは￢(y|x)Ajと一致し、￢(y|x)Ajは(2)によって関係式。
（V,特殊記号s,τについても同様）

(1)(y|x)￢Aは￢(y|x)Aと同じ
(2)Aが理論Tの関係式のとき、￢AはTの関係式

回答No.2

itshowsun

私も勉強中であり、正確なことは言えませんが、
圏論を勉強して感じたのは、次のことです。
論理と集合を基盤とする古典数学は、無限で（直観的に）破綻する。
その破綻を回避するには、集合からクラスに思考を移さなければならない。
その一つの方法が集合を扱うのではなく、
それらの間の矢（関係）を使うことである。
そこで必要になるのが矢（関係）記述言語であり、それが図式である。
ということです。
最近、矢記述言語としてSQLが存在することを知りました。
つまり、SQLを使えば、表の中にデータがなくても、
データを取り出すための記述文が書けるということです。
同じように圏論では、考えている対象の中身を考えることなしに、
つまりそれが無限の要素を持っていたとしても、
対象間、圏間の関係を図式で表現できることになります。
ただし、これには発想の転換が必要です。
早くトポスを理解し、論理を図式でわかるようになりたいです。

お礼

いろいろあるんですね。
勉強になりました。
ブルバキを読み終えたら（出来るかわかりませんが）
圏論のほうも読んでみます。

ありがとうございました。

回答No.1

itshowsun

大学時代ブルバキに読み、途中で挫折しました。
今、論理をもう一度学ぶために圏論を読んでいます。
そこで構成主義的数学の概念を知ることとなり、
今、ハイティング代数を学んでいるところです。
そこでは、論理は数学の一部となり、論理圏が構成されます。

一方、ブルバキ数学では、論理を基盤として、公理的集合論を定義し、
その集合論に基づいて数学構造を構成（おそらく構築の方が正しいかも）していきます。
すなわち、論理や集合公理に基づいたものにその証明方法は限られることになると思われます。
たとえば、ZFC集合論では、常に集合は有限であると定義され、
無限は高々加算無限（すなわち、帰納的）に限られます。
よって、
質問の要旨は、この論理と集合論の方法論に一致します。

構成数学では、論理や集合は構成されるべき数学的対象であり、
それらはそれぞれ論理圏や集合圏に圏論によって構成されます。
このとき、論理は使われず、矢（写像、射、関手、自然変換）より
図示され、自然さ、可換性、普遍性、双対性などの数学者の直観によって
それらが構成されます。おそらく、圏論では上の例（よく分からないが）は
図式で証明されると思います（一階述語論理とトポスによるそのモデル？）
（と今のところ、私は考えています。勉強の途中です）

ただし、圏論はブルバキには使えません。
論理を基盤とするブルバキに圏論を取り入れるためには、
論理が数学的構成となるので、論理を基盤とできず、
ブルバキ数学を圏論を基盤とするように最初から作り直さなければいけなくなります。

これは圏論を学んでいる者の単なる感想です。
間違っている可能性が十分にあるし、
たとえ間違っていなくても、
構成主義や直観主義は数学の主流ではないかもしれません。
（今まで、私が読んだ圏論以外の数学の教科書は、すべて論理を基盤にしている。
ということは構成主義ではない。）

補足

ご回答ありがとうございます。

今見てみると・・この質問わかりにくいですね（笑）。論理に関する証明で、理解できている（と思う）のにうまく書き表せないものがあって質問させていただいたのです。

納得のいく証明が書けたので一応この問題は解決できたということになるのですが、
こういったことが起こりえるのはここでいう証明が超数学的な証明である、
つまり前提としてよいものが定められているわけではなく直感に依存している（昨日まで圏論というものを知りませんでした）からだということですね。

圏論を用いることによって論理も構成することができるとのことですが、圏論においても直感に頼って証明を行う部分は必ずでてくると思いますが、そこででてくるものはブルバキのものよりもより受け入れやすいということはあるのでしょうか？