複素数の偏角

質問

複素数zの偏角は
arg z=arctan(y/x)
と書かれることがあると思いますが，arctanの戻り値は-π/2からπ/2までですよね．偏角が-πから-π/2の場合やπ/2からπのときはこの式ではただしい値が求まらないと思います．ほかに適当な書き方がないからarctanを使っているだけなのでしょうか？

回答No.11

alice_44 · ベストアンサー

馬鹿なこと言って茶化してる人がいるので、
A No.7 ～ No.9 を整理しておきます。

＞ でも参考書見るとarctan(y/x)と書いてあるわけです．．．
arg z = arctan(y/x)　where　z = x+yi,　x,y∈R
は、arg の表式にはなり得ません。
問題点は x = 0 ばかりではなく、tan の周期が π であること
に起因して、複素平面の半分でしか arg を表せないからです。

arctan の値域は、-π/2 ～ π/2 にとることが多いけれど、
適当にずらして設定することも可能です。
だから、どこの半平面で arg z = arctan(y/x) になるかは、
arctan の定義次第で変わってくるのだけれど、いづれにせよ、
arg z = arctan(y/x) で表せるのは、複素平面の半分だけです。

既に書いたことですが、君の式では、
1-i と -1+i の偏角が同じ値になってしまいますね？。
＞ 特に範囲制限等なさそうです．
だったら、君の使っている参考書は、間違っているか、
最大限善意に解釈しても致命的に説明不足なので、
他の本で勉強したほうがよいです。

＞ 一般的にarg zの定義ってどうなっているのでしょう？
arg を式で表示するには、いろいろやり方があると思いますが、
簡潔なのは arg z = Im log z だろうと思います。

ここで、Im は複素数の虚部。z の共役複素数を z^ として、
Im z = (z + z^)/2 で定義される関数です。

log は複素対数で、log z = ∫[t=1→z] dt/t で定義されます。
右辺の積分は、複素積分であるために積分路依存で、
2πi の整数倍を任意に加えられる不定性があります。このため、
上式の arg にも、2π の整数倍を任意に加えられる不定性があります。
それが、偏角を考えるときに動径を何回転させるかに対応する訳です。
通常、arg の値域が 0 ～ 2π になるように調整します。

お礼

まとまっていてわかりやすいです．ありがとうございます．

arg z=Im log zというのは，zを極座標表示したときのθがarg zだと言っているということでいいでしょうか？

回答No.7

alice_44

arctan の値域が 0～2π からハミ出すことについては、
tan の周期性を考慮して、値に π を足しときゃ済む。
そこは、あまり問題ではないが、
質問の式では、1-i と -1+i の偏角が同じになってしまう
ことが問題点だ。その公式は、間違っている。

お礼

ご回答ありがとうございます．

>その公式は、間違っている。
でも参考書見るとarctan(y/x)と書いてあるわけです．．．

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

数学だと

θ=arctan(y/x) ( x > 0
θ=π/2 ( x = 0, y > 0)
θ=3π/2 ( x = 0, y < 0)
θ=arctan(y/x)+π ( x < 0)
θ=未定義又は不定 (X=0, y=0)

とかくしかないかな。

プログラミングだと atan2 という2引数の
関数が用意されていることが多いですね。

お礼

ありがとうございます．

やっぱり場合分けですか．arg zの定義をそれにすればいいのに．．．

プログラミングではちゃんと関数があるのですね．知りませんでした．

回答No.5

Water_5

＞複素数zの偏角は
＞arg z=arctan(y１/x１)
＞と書かれることがあると思いますが，arctanの戻り値は
＞-π/2からπ/2までですよね．
--------------------------------------
ハイ。そうです。

それでは、ｚ＝-1-iの時はどうなるか。
ｙ１＝－１、ｘ１＝－１なので
arg z=arctan(y１/x１)＝arctan(１)＝π/４となる。・・・・（５）

一方
ｙ２＝tan（ｘ２）のときｘ２＝arctan（ｙ２）・・・・・（６）となる。
（５）式より、ｘ２＝π/４、ｙ２＝１となり（６）式が成り立つ。
よって、慌て者となる。

お礼

ありがとうございます．

結局z=-1-iは無理ですよということ？ですか？

回答No.4

kabaokaba

＞とありますが，この場合arg z=π/2ではないのですか？

いやいやいや・・・定義とかがごっちゃになってます

「複素数z=a+biの偏角」なるものを
arctan(b/a)なるもので「定義」するっていうなら
b/aが計算できないといけません
しかし，数学では「分母0」というのは
なにも留保条件がない場合はタブーです．

ということで，この段階で定義としてはアウトです．

しかし，「複素数の偏角」というものを
別の方法で定義した場合，
＃前回の「ベクトルのなすかく」というのは不適切でした
＃ベクトルのなす角は通常0からπですんで
arg(z)は定義されているにもかかわらず
arctan(b/a)は計算できないということはありえます

お礼

たしかに，分母0はだめですよね．

ありがとうございました．

回答No.3

kabaokaba

求まりませんよ

そもそも，arctan(y/x)だったら，
1+iとか-1-iなんかを考える前に
実部が0，つまり純虚数の偏角（ほとんど自明ですけど）は
計算できないです．

ですので，このarctan(y/x)だけというのは
定義としては不適切です．

結局のところ，z=a+ibを座標(a,b)と見立てて，
ベクトル(1,0)と(a,b)のなす角を「偏角」というわけですが
まじめにやるんなら
a>0のとき
a<0,b>0のとき
a<0,b<0のとき
a<0,b=0のとき
a=0,b>0のとき
a=0,b<0のとき
みたいなことしないと表現できないんじゃないですか
（要は，象限と軸上での場合わけです．
この場合わけが，適切かはとりあえず考えない）

お礼

回答ありがとうございます．

私の質問に対する答えとしては，arctan(y/x)が不適切だということですね．

>実部が0，つまり純虚数の偏角（ほとんど自明ですけど）は
計算できないです．

とありますが，この場合arg z=π/2ではないのですか？

回答No.2

spring135

tanｘは周期がπなのでこのように書けます。

従って

-1-iの場合はnπのnで調整する必要がありこの場合n＝1です。

いずれもグラフを描いてみてよく考えてください。

お礼

ご回答ありがとうございます．

arctan(x/y)だと，1+iと-1-iの偏角が同じになりませんか？（どちらの場合もx/y=1なので．）

そうならないようにするためには，結局zがどの象限にあるかを想像して，n=0かn=1かを自分で判断しないといけないということでしょうか？（つまり，arg zの主値を-πからπにとるとすると，zが第1，4象限ならn=0，zが第2象限ならn=1，zが第3象限ならn=-1というように．）

回答No.1

spring135

＞arctanの戻り値は-π/2からπ/2までですよね

いわゆる主値はそうでしょうが一般的には

arg(z)=nπ+arctan(y/x) (n=0,±1,±2,....）

と取り扱う慣例になっています。

補足

ご回答ありがとうございます．

主値は普通-πからπでないとおかしいのではないでしょうか？

それから，たとえば，z=-1-iのとき，arg z=arctan(1)=π/4になってしまいますが，この間違いはどのように回避されるのでしょうか？