複素数の範囲ですがθ＝tan^-1(y/x) になるのはなぜですか？

質問

複素数の範囲ですがθ＝tan^-1(y/x)　になるのはなぜですか？

（=Arg(z)となっているんですがここでは割愛……）
タイトルのようになるのはなぜでしょうか？
x=rcosθ　y=rsinθだと思います

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1補足の質問

>その最後の式で左辺は角度ですよね？
>右辺は数字ですよね？

>それが＝になる理由がよくわかんないです……

あなたは小学校、中学、高校で角度をどのように学んできたのでしょう。その基礎がいい加減なので理解できないのでしょう。

もともと角度は人が便宜上勝手につけた便宜上の単位で次元的に無次元（長さ、力、質量、時間などとは全く関係のない単位のない数値）の量でtan-1(y/x)と同じ数値です。

度数法の角は、円の中心角を一回りを360としたときの割合の数値に過ぎません。角度であることを示す為の度（°）をつけているだけでもともと数値にすぎません。弧度法の角度は半径1の円周の長さ２πを元にその円弧の長さの数値で表したものに過ぎません。数値が弧度法の角度を表していることを強調する場合はラジアン[rad]をつけているだけです。

tanθ=x/y
でθを弧度法の角度としたときのθの単位として[rad]を使用し、弧度法の定義に基づき
θ[rad]=tan^-1(y/x)[rad]
と書けるのです。両辺とも[rad]という無次元の角度の単位になります（つまり数値似すぎない）。
θが度数法の角度なら
θ[°]=(180/π)tan^-1(y/x)[°]
と両辺とも[°]という無次元の角度の単位になります（つまり数値に過ぎない）

こういった角度の概念を高校辺りで正しく学習してこなかったことがあなたに混乱を起こしているのでしょう。今回しっかり角度の概念を覚えて下さい。

回答No.6

alice_44

←No.1 補足
え？ そこで悩むかな。

もともと、tan が 角度→数値(辺の比) の関数なので、
その逆関数は 比→角度 の関数です。
θ=tan-1(y/x) は、両辺が角度の等式で、
何の問題もない。

今回は、たまたま、角度が「無次元量」でしたが、
そこがポイントではないでしょう。

回答No.4

alice_44

「 r/_θ 」という式が不明ですが、それでも、
「 jは虚数単位です」と修正してよければ、
一応、意味は取れます。

x = r cosθ, y = r sinθ, z = x+jy を定義としたのならば、
y≠0, r≠0 の範囲では、
y/x = (r sinθ) / (r cosθ) = sinθ / cosθ = tanθ
と計算できますね？
よって、tan の逆関数をとって、(tan^-1)(y/x) = θ。

y=0 や r=0 の場合を別に考慮しなければならないし、
tan が周期関数なので、θ の値の範囲に注意しなければなりませんが。

回答No.3

178-tall

>x=rcosθ,y=rsinθ

y を x で割ると、
　y/x = rsinθ/rcosθ = sinθ/cosθ = tanθ
ですね。

その逆関数表示が、
　θ = tan^-1(y/x)

…というだけのハナシですよ。

回答No.2

alice_44

＞ 複素数の範囲ですがθ＝tan^-1(y/x)　になるのはなぜですか？

θ, y, x がどれも未定義なので、貴方の質問は意味をなしません。
何が質問したかったのか、頭を冷やしてよく考えましょう。
質問を思い出したら、補足へどうぞ！

ヒント：割愛したのが、重要な箇所です。たぶん。

補足

x=rcosθ,y=rsinθ
z=x+jy=r(cosθ+jsinθ)=r/_θ（jは虚数です・・・一応）

ここでrはzの絶対値,θはZの偏角,副角,微角,位相角などとよばれ,次のようにあらわされる。

r=|z|=√（x^2+y^2）
θ=tan~-1(y/x)=Arge(z)

原文は以上です。
なぜθとtan~が等しいのです!!??

回答No.1

info22_

複素座標平面z=x+iy=re^(iθ)
とガウス座標平面(x,y)
との間の関係は

>x=rcosθ　y=rsinθ

ですが、y/x　の式から

y/x=rsinθ/(rcosθ)=tanθ

この式から
θ=tan^-1(y/x)がでてきます。

補足

その最後の式で左辺は角度ですよね？
右辺は数字ですよね？

それが＝になる理由がよくわかんないです……