確率でグループ分け問題のコンビネーションの使い方について

質問

１５人をＡ組、Ｂ組、Ｃ組の各組５人ずつのグループに分ける時の場合の

数は、15Ｃ5・10Ｃ５通りですが、組の区別がない時は上記の数を３！で割

ると答えが求まります。

組み合わせのＣ(コンビネーション)はどういう特徴のためにＡ組Ｂ組のよ

うな、組の区別があるものしか答えが求められないのでしょか？

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

質問者さんの疑問？は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
１）　１５人から５人を選び出す　　・・・　コンビネーション 15Ｃ5
２）　それをＡグループとする　　　・・・　？？？
３）　１０人から５人を選び出す　　・・・　コンビネーション 10Ｃ5
４）　それをＢグループとする　　　・・・　？？？
５）　残った５人をＣグループとする ・・・　１通り

という手順で、グループに分ける場合の数は、上の１）、３）、５）を掛算して得られる。ここで、疑問の「組の区別がある/ない」は、１）、３）のコンビネーションによって発生しているのではなく、２）、４）、５）の「取り出した順に並べる」という手順にしたがって１）、３）、５）を「掛け合わせる」という計算によって発生しています。で、「場合の数を掛け合わせて得られる」のが順列ですよね。
通常、順列というと、例えば「１から９の数字から３つを順に選んで並べる」とすると、１つめの数字の選び方が９通り、２つめの選び方が８通り、３つめが７通りですから、順列は９×８×７。ですが、何か特別な条件をつけて、１つめの数字の選び方が５通り、２つめも５通り、３つめが４通りなどとなることも有り得るわけで、その場合の順列は５×５×４です。というように、「場合の数を掛け合わせていく」のが順列ですよね。この問題も、１つ目の選び方が15Ｃ5通り、２つ目の選び方が10Ｃ5通りで、３つ目の選び方が１通りだから、順列は15Ｃ5 × 10Ｃ5 × 1　なわけです。

ということで、コンビネーションの計算がグループを区別している原因なのではなく、（コンビネーションで）取り出した人のグループを並べたという順列の行為（場合の数を掛け合わせたという計算）が区別の原因です。

お礼

ありがとうございました。たいへんわかりやすかったです。

コンビネーションばかりに気をとられていました。

回答No.2

ka1234

こんにちは。
このような時、私は全て書き出す事にしています。

例　次の問題を考えてみて下さい。
(1)4人を2人と2人に分け、組の区別をすると、
　(A組, B組)＝(ab,cd)(ac,bd)(ad,bc)(bc,ad)(bd,ac)(cd,ab)
　の6通りになります。
これから、4C2=6 というのは、
4人の中から2人を選び、その2人をA組にし、残りの2人をB組にする
ということに相当するということが分かります。

(2)4人を2人と2人に分け、組の区別をしないと、
　前問より、(ab,cd)(ac,bd)(ad,bc)の3通りになります。
　(ab,cd)と(cd,ab)は組を区別しなければ同じものです。・・・[1]
これから、組の区別がない時は、2！で割る事が分かります。

※　実際に手を動かすと理解が早いです。

では、1人と3人に分ける場合は2！で割る必要がないのはなぜか？

(3)4人を1人と3人に分け、1人をA組、3人をB組とすると、
　(A組, B組)＝(a,bcd)(b,acd)(c,abd)(d,abc)の4通りになります。
これが、4C1=4 ということの意味です。

(4)4人を1人と3人に分ける。この時、(3)より、4通りとなります。

※　(2)の[1]に相当するものが無いのです。従って割る必要はありません。

(1)や(3)のように、組を区別するときには、C を直接使う事ができます。
それ以外では、(2)のように、見た目が「組合せ」のように見えても、
直接は使えない場合があります。

お礼

ありがとうございます。具体的な説明でわかりやすいです。

回答No.1

ymmasayan

少し込み入っていますね。

これは順列と組み合わせの両方で考える必要が有ります。
メンバーと組の混合になっていることがポイントです。

実は上の２つの例は
組の順列・メンバーの組み合わせ
組の組み合わせ・メンバーの組み合わせ
の違いです。

お礼

ありがとうございます。聞きたかったことを説明して頂いてる気がします。

質問があります。組の順列と組の組み合わせの違いはなんでしょうか？