順列と組合せの区別

質問

順列や組合せの問題でPやCを使って計算をします。
その時、どういう場合に、Pか、Cを使うのか、イマイチ良く分かりません。例えば、

(1)15人の中から図書委員、体育委員、広報委員各１人を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、兼任は認めないものとする。

(2)１５人の生徒の中から４人の学習係を選ぶ方法は何通りあるか。という問題には

(1)はP、(2)はCを使います。

上記のような問題なら何とか分かりますが、応用になった時、計算する際どっちか、区別する方法を教えてください。お願いします。

回答No.2

furu007 · ベストアンサー

順列や組み合わせは、その順序が大切です。

いま話題のロト６で考えてみましょう。ロト６は４２個の数字から任意の６個の数字を選ぶくじです。
ここで、引かれたくじの番号を「引いた順番通りに」ならべてみましょう。
３２、２７、１７、１５、３、２２
でも、いまのロト６の当選発表は、引いた順番ではなくて単に、小さいものから順に
３、１５、１７、２２、２７、３２
と発表されます。これが、まさに組み合わせで、順序を考えないものです。
仮に、引かれたくじの順番が、３２と２７が入れ代わりになっても、当選くじには影響しません。
こういった、順序が結果に影響しない場合は、組み合わせで42Ｃ6となります。

でも、引いた順序が結果に影響する場合はどうでしょうか？
ナンバーズや、普通の宝くじがこれにあたります。
引く順番を、千の位、百の位、十の位、一の位と抽選する場合、たとえば
６３２８
ならば、もし千の位の６と百の位の３の順序が逆ならば、３６２８となり
全く別の数字になってしまいます。こう言った場合は順列で各位は10Ｐ1
となり、４桁ならば10Ｐ1の４乗となります。
質問の例では、「兼任を認めない」とあるので、
例えば、太郎君が図書委員、花子さんが体育委員になった場合と、その逆では
結果が異なります。選挙は、兼任を認めていないので、選挙は同時ではなく、
図書、体育、広報と、順序だてて行われます。太郎君が一番目の選挙で選ばれるのは図書委員、
二番目で選ばれたら体育委員、選ばれる順序によって結果はかわります。
つまり順序が影響するので順列の計算になります。

１５人の生徒から学習係を４人選ぶ場合、太郎君が一番目に選ばれ、花子さんが二番目に選ばれるのと
その逆、花子さんが一番目、太郎君が２番目に選ばれるのは、同じ結果になります。
つまり、順序が影響しないので、組み合わせの計算になります。

適切な説明がうまくできなくてすみません。

お礼

ものすごくご丁寧に誠に感謝します。
しかも、身近なことを取り上げて下さったので、分かりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.5

noname#7269

Ｐは英語で順列を表す　Permutation　の頭文字です。
難しくいっても分からないと思いますので。
(1)　５人を「ただ」選ぶ（区別をつけない）のとき、Ｃ
　　つまり、５人のコンビ（みんな同じ・・優劣がついて　　いない）
(2)　５人を選び、順番「いろんな意味での優劣をつける」　　のとき、Ｐ

質問の例では大丈夫！ということなので
区別が難しい問題の例でもあれば・・・

お礼

本日、テストでした。皆さんのアドバイスを参考にさせて頂いたので（もちろん、namimanaさんのアドバイスもです。）いい結果を期待したいと思います。
ありがとうございました。

回答No.4

1006

その、15人を、A～Oさんとします。
（ThisIsAPenさんの言葉をお借りします）
異なるn個のものからr個とって１列に並べる→順列nPr
すなわち、Aさん、Cさん、Hさん、が（この順に）もし選ばれたなら、Aを図書委員、Cを体育委員、Hを広報委員になりますよね。
また、もし、Cさん、Aさん、Hさん、がもし選ばれたなら、Cを図書委員、Aを体育委員、Hを広報委員になりますよね。
このように、選ばれた順番によって、誰が何委員になるかが変わってくるんです。だから、選んだものの並び方までかかわってくるんです。よって、ｎＰｒ。
異なるn個のものからr個とる（１列に並べない）→組み合わせnCr
すなわち、Ａ、Ｂ、Ｈ、Ｋさんが（この順に）選ばれたとします。この四人は、みんな学習委員になりますね。
でも、Ｂ、Ｈ、Ｋ、Ａさんの順番にえらばれたとしても、みんな学習委員になりますね。だから、選んだものの順番は関係ないんです。
別の見方をすると、ＡＢＨＫ，ＡＢＫＨ，ＢＡＨＫ、ＢＡＫＨ，ＫＨＢＡ，ＫＨＡＢ，ＨＫＡＢ、、、、、、というふうに、(1)の問題では、別と考えられてたものが、(2)の問題では同じ物（1通り）と考えられてしまいます。だから、ｎＰｒでは困るんです。
ｎＣｒ＝ｎＰｒ/ｒ！（自信がありませんが・・・・）ですよね。
だから、ｎＰｒから、そのかぶってる物を1とおりと考えるために、多い分を割ってやるんです。
ｎＰｒより、ｎＣｒの方が、数が小さくなってるはずです。

わかりにくかったかもしれませんが、参考になれば幸いです。

お礼

＞わかりにくかったかもしれませんが
いや、とんでもないですよ。このように説明をしただけると分かりやすいです。
ありがとうございました。

回答No.3

bin-chan

> 区別する方法を教えてください。お願いします。

「Ｐ」はPosition（位置）のＰ、ＣはConbination（組み合わせ）のＣ。

（１）のパターンは「兼任なし」なので「選ばれた人はｘｘ委員」と決まる。
（２）のパターンなら「誰でも良いからとにかく４人」

なのでは？

お礼

アドバイス頂きありがとうございました。
問題があった時にすぐ区別できるようにしたいです。

回答No.1

noname#1525

簡単に言えば、
(1)のように、それぞれ区別する場合はP、
(2)のように、選ぶときに区別しない場合はCを使います。

もうちょっと詳しく言うと、
異なるn個のものからr個とって１列に並べる→順列nPr
異なるn個のものからr個とる（１列に並べない）→組み合わせnCr

う～ん、実際に具体的な問題が有れば説明できるのですが…

お礼

私は基本的なことから分かってませんでした。
皆さんの回答から理解する事ができました。
ありがとうございました。