同じものを含む順列の考え方について

質問

例えば

A O O

という文字の並べ方の個数を計算するとします。
Oに区別があるものとして　

A O1 O2

この並び方の総数は3! = 6

実際はOに区別は無いので2!で割って　　解答は3

ここまではわかります。
しかしその中で疑問があって

1.なぜ一度区別があるものとして計算しないと求められないのか、
それと
2.なぜ同じ物の個数の階乗で割ると解答が求まるのか
が完全に理解できません。

2は自分の考えでは

A O1 O2
A O2 O1
---------
O1 A O2
O2 A O1
---------
O1 O2 A
O2 O1 A　

という風に1つの並び方のパターンにつき、同じ物の個数がある分だけ並び替えがあるので
この場合だとOの2個分の階乗　2!　で割ることで　3!からOの並び替え分の個数を抜いている
と考えているのですがどうでしょうか

よろしくお願いします。

回答No.1

adachirusan · ベストアンサー

>なぜ一度区別があるものとして計算しないと求められないのか、

一度の計算で求めることは出来ます。
その場合、式は3Ｃ2になります。

考え方としては、三つの場所から同じものを二つ置くための"場所"を選ぶ、という感じです。
(二つ選んだら、残りがAの場所になる)

>なぜ同じ物の個数の階乗で割ると解答が求まるのか
が完全に理解できません。

これは質問者さんの考え通りで大丈夫だと思います。
もし○2つが違う物の場合、○の場所だけでなく○の並び順も数えなければなりませんから、
場所 × 並び順ということになりますが、○2つは同じものなので、並び順で割って"場所"のみになる、という感じです。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>1.なぜ一度区別があるものとして計算しないと求められないのか、

そんなことはなくて、例えば、Aの位置がきまれば並べ方が決まりますが、
Aを置く場所は3箇所なので 3 というふうにも解けます。

ただ、複雑な場合は区別した方が楽なことが多いし、確率の計算
が絡んでいる場合は「同様な確からしさ」の判断が楽なことが多いという理由も
あります。

解法のテクニックであって、数学の本質ではありません。

>2.なぜ同じ物の個数の階乗で割ると解答が求まるのか
>が完全に理解できません。

質問に書かれている内容でほぼよいと思います。

区別しない場合の1パターンが区別する場合の何パターンに
対応するかがわかればよいわけです。表を作れば納得できると思います。