高校数学 図形と計量の問題

質問

一辺の長さが3の正四面体ABCDに内接する球の中心をOとする。次の問に答えよ。

(1)四面体OBCDの体積を求めよ。

(2)球の半径r、表面積、体積を求めよ。

詳しく解説をお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

参考URLの図をご覧ください。

(1)
正四面体ABCDの体積Vは
　V=(3/√2)^3-4*(3/√2)^3/6=(3/√2)^3/3=9√2/4
（参考）
ttp://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/mathematics/kirinuki/kirinuki18.html

参考URLの「正四面体に内接する球」の所の図を見ながら以下の回答をご覧ください。

正四面体ABCDは四面体OBCDと合同な四面体4個に分解できるから
四面体OBCDの体積V1は
　V1=V/4=9√2/16

(2)
内接球の半径rは四面体OBCDの高さであることから
V1=3*3*√3/4=△BCD*r/3より
　r=3V1/△BCD=3*(9√2/16)/(3*3*√3/4)=√6/4

内接球の表面積So=4πr^2=3π/2

体積Vo=(4/3)πr^3=√6π/8

参考URL：

http://sansuu.noblog.net/blog/2009/04/

お礼

ありがとうございます

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

訂正です。

誤) 外接円の半径 = R, 内接円の半径=r とすると
正) 外接球の半径 = R, 内接球の半径=r とすると

お礼

ありがとうございます

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

辺の長さが a の正三角形の高さを b
正三角形の中心から頂点までの距離を c

とすると

b = (√(3)/2)a、c = (√(3)/3)a

正四面体の3角錐としての高さ h は

h^2 + c^2 = a^2 ⇒ h = (√(6)/3)a

外接円の半径 = R, 内接円の半径=r とすると

h = R + r、R^2 = c^2 + r^2　⇒　r = (h^2-c^2)/(2h) = (√(6)/12)a

後の計算は簡単ですよね。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

noname#190065

正四面体のよく出る問題ですね。頂点Aから下ろした垂線と底面BCDとの交点をHとします。この点Hが底面BCDの正三角形のどんな点になるかがまずポイント１。外心・内心・重心になるんです。どの底面の頂点でもいいのですが、例えば頂点Bとで△BHAで三平方。高さAHが出ます。
　次のポイントは、立体に内接する立体は断面図で考えてみることです。切り方によって、解けたり解けなかったりします。この場合は、△BCDの２辺の中点をM, Nとして、頂点Aを通るような平面で切って△AMNで考えてみてください。きっと、内接球の半径が出てくるはずです。
　以上が、こうした問題を解くポイントです。もし、それでも解けなければ重心あるいは外心・内心の定義・性質や三平方の定理など復習しなければなりません。頑張りましょう。

お礼

ありがとうございます
頑張ります