五の語 高校数学の場合の数
kが4以上の整数の時、方程式x+y+z=2k-1の正の整数の解について
(1)x<=kを満たす正の整数解(x,y,z)の個数を求めよ
(2)条件x<=k,y<=k+1,z<=k+2を満たす正の整数解(x,y,z)の個数を求めよ
回答 (1)x+y+z=2k-1の正の整数の解(x,y,z)の個数は図の2k-2本から2本を選ぶ方法の個数に等しく
[2k-2]C[2]個・・・(*)である このうちx<=kを満たさないもの、すなわち
x+y+z=2k-1,x>=k+1,y>=1,z>=1⇔(x-k)+y+z=k-1,x-k>=1,y>=1,z>=1
を満たすものは[k-2]C[2]個あるから 答えは[2k-2]C[2]-[k-2]C[2]=(3k^2-5k)/2・・・(1)
(2) 上の(*)の解の集合のうちx>=k+1,y>=k+2,z>=k+3をみたす部分集合をそれぞれ
A,B,Cとすると求める個数は[2k-2]C[2]-n(A∪B∪C)である ここでA,B,Cは排反であるから
n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)であり、これは(1)と同様に
[k-2]C[2]+[k-3]C[2]+[k-4]C[2]・・(2)よって答えは(1)の結果(1)から[k-3]C[2]+[k-4]C[2]
=(2k^2-16k+32)/2を引いたもので(k^2+11k-32)/2
注・・k=4,5のとき、(2)の3つのコンビネーションのなかに意味のないものが現れますが、そう言うものは(3)において0個としてカウントされているので(2)の結論はk>=4の範囲で使えます(k=3はだめ)
とあったのですが(1)はx+y+z=2k-1の正の整数の解(x,y,z)の個数は図の2k-2本から2本を選ぶ方法の個数に等しく[2k-2]C[2]個・・・(*)であるとありますが、何でこんな事が言えるのかわかりません、x<=kを満たさないものが何で[k-2]C[2]個になるんですか？
(2)はA,B,Cとすると求める個数は[2k-2]C[2]-n(A∪B∪C)であるの所ですが(A∩B∩C)じゃないですか？なんでAもBもCも含んでいいのかわからないです A,B,Cが排反になるのがわかりません、またn(A∪B∪C)が何で[k-2]C[2]+[k-3]C[2]+[k-4]C[2]になるんですか？
(1)からなんで[k-3]C[2]+[k-4]C[2]=(2k^2-16k+32)/2を引いたものが求める値になるんですか？[k-2]C[2]も引かないといけなくないですか？
注の意味のなさないものというのは何のことでしょうか？
お礼
なるほど、気付きませんでした。 ありがとうございました。