数学クイズ、難問です。

質問

力ずくで答えは求まりました。
しかし、数学的、論理的にスマートに導くにはどうすればよいのか知りたいです。教えてください。

（問題）　(a^b)*(c^d)=abcd (4桁の正の整数）　となるような数でこれを満たすabcdを求めよ。
（答え）　2592

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

あと何日か待って！

回答No.3

staratras

ある程度網羅的に調べざるを得ませんが、できるだけ範囲を狭くできるような方法を考えてみました。以下4桁の整数1000a+100b+10c+dをabcdと表記します。

まず、準備として1から9までの整数の9乗までのべきで9999以下になるものを計算し、大きさの順に並べる。2^6=4^3=8^2 のように数値としては重複するものがあり、１から7776まで34種類ある。…(表１)

次にa^b＊c^dとaの値との関係を考える。
例えばa=2のとき、a^b＊c^dは2000以上2999以下の数でなければならない。
つまり、1000a≦a^b＊c^d≦1000a+999 この各辺をa(>0)で割ると
　　　　1000≦a^(b-1)＊c^d≦1000+999/a　…(式1)
ここでa=1,2,3,4,5,6,7,8,9を代入して、上の不等式の右辺、すなわちa^(b-1)＊c^dの上限を求めると、それぞれ1999,1499.5,1333,1249.75,1199.8…,1166.5,1142.7…,1124.875,1111 となる。

さらに、a,b,c,dの奇偶性を考えると、aが偶数ならa^b＊c^dが常に偶数となるのでabcdが偶数になるためにdは偶数でなければならず、aが奇数ならa^bは常に奇数となるので、a^b＊c^dの奇偶性はc^dの奇偶性と一致するためcが偶数ならdも偶数、cが奇数ならdも奇数でなければならない。…(条件1)

1)a=1のとき　a^b=1 より　a^b＊c^d=c^d ここで表1から1で始まる4桁の整数は1024=4^5と1296=6^4 の２つしかないが、abcdの数字の並びに合わない。

2)a=2のとき　式１から1000≦a^(b-1)＊c^d≦1499.5
b=1のとき　1000≦c^d≦1499.5　上の１)と同様に　abcdの数字の並びに合うc,dはない。
b=2 のとき　500≦c^d≦749.75 条件1を考慮して表1から
c^d=625=5^4 またはc^d=729=3^6 いずれもabcdの数字の並びに合わない。
b=3のとき　250≦c^d≦374.6…　同様にc^d=256=2^8=4^4 で合わない。
b=4のとき　125≦c^d≦187.43…　条件1を満たすものは表1にない。　
b=5のとき　62.5≦c^d≦93.7…　条件1を考慮して表1から　
c^d=64=2^6=8^2 このとき　a^b*c^d=2048 でabcdの数字の並びに不合。　
c^d=81=9^2 　このとき　a^b*c^d=2^5＊9^2=2592 で条件を満たす。
b=6のとき　31.25≦c^d≦46.85…　条件1を満たすものは表1にない。
b=7のとき　15.625≦c^d≦23.42…　c^d=16=2^4=4^2
このとき　a^b*c^d=2048 でabcdの数字の並びに不合。　
b=8のとき　7.8125≦c^d≦11.71…　c^d=9=3^2
このときa^b*c^d=2304 でabcdの数字の並びに不合。
b=9のとき　3.90625≦c^d≦5.85…　c^d=4=2^2
　　　　　　このときa^b*c^d=2048 でabcdの数字の並びに不合。

以下同様にa=3,4,5,6,7,8,9 について調べたが、すべて題意を満たすものはない。

例えばa=9のとき　式１から
b=2のとき　111.1…≦c^d≦123.4…　b=3のとき　12.3…≦c^d≦13.7… となるが表1にはこの範囲の数そのものがない。
またb=4のとき　1.37…≦c^d≦1.52…　で整数値にならない。　

したがって　（a,b,c,d)=(2,5,9,2) つまり　2^5＊9^2=2592

お礼

深いご考察と大変詳しいご解説ありがとうございました。
私も範囲を絞って調べたのですが、とてもアバウトな方法でした。
このように厳密にすれば、解はこの1通りしかないことも言えますね。
また、結局は簡明な方法はないことも良くわかりました。
大変勉強になりました。

すみません。こちらをベストアンサーに選んだつもりだったのですが、
押すボタンを間違えてしまい、No.2の方ベストアンサーがついてしまいました。
どうしたら良いのでしょう。

回答No.1

alice_44

a,b,c,d が一桁の十進数という時点で、解の候補は 10000 通りしかない。
有限個の候補が各々、解かどうか定数時間で判定できるのだから、
数学的には、もう終わっている話。後は、バソコンにでもやらせとけ
…てのは、お好みではないんでしょうね。