シグマを使った式の証明

質問

後輩から質問され、がんばってといているのですが、行き詰まりました。助けてください。

１）以下の等式を証明せよ
　∞
　Σ ((1+g)^(t-1))/((1+k)^t)=1/(k-g)
　t=1
２）以下の等式を証明せよ（一応解けたのですが別解があれば宜しくお願いします）
　∞
　Σ1/((1+k)^t)=1/k
　t=1
　解）　　　 n
　1/k - lim Σ 1/((1+k)^t)=0
　　　 n→∞ t=1
　としてときましたが、もっといいほうがあれば・・・

どうぞ宜しくお願いします。

回答No.2

62016479 · ベストアンサー

左辺=Sとする。
S=・・・・⇒(1)
両辺に(1+g)/(1+k)を掛けてS*(1+g)/(1+k)=・・・・(2)
(1)-(2)をすると右辺の第一項と最終項のみ残ります。
これを整理すると答えが出てきます。
しかし、（1+g）と(1+h)の関係によって違うので問題文に（１+h）の絶対値が（1+g）の絶対値よりも小さいという条件が必要です。
この考えは無限等比級数の考えを応用したものです。

お礼

ありがとうございます。
検算してみて、後輩に説明した後に、締め切らせていただきます。
公式でなく、考え方なので、私には非常にわかりやすかったです。
ただ、後輩は文系の人間なので、理解できるかどうか・・・

回答No.6

taropoo

> taropooさんの２）の解答ですが、約分が間違っています。
> たぶん、tは1からでいいのではないかと思います。＞taropooさん

おっしゃる通りです。失礼しました。

お礼

皆さん、本当にありがとうございました。

何とか後輩に説明することができました。
ただやはり、分数の計算がでてくるため、本当の理解までは、なかなか難しいようです。（いまどき、東大の理系の学生でも、通分・約分ができない学生もいるようですね。将来の日本はどうなるのでしょう・・・）

高校のときにした、数列の公式なども、おぼろげながら思い出し、大変役に立ちました。

本当にありがとうございました。

回答No.5

nikorin

taropooさんの２）の解答ですが、約分が間違っています。
1/(1-(1/(k+1)))-1
=(1+k)/((1+k)-1)-1　 <<
=(1+k)/k-1
=((1+k)-k)/k
=1/k.

たぶん、tは1からでいいのではないかと思います。＞taropooさん

問題の条件を教えてください。＞msystemさん

補足

皆さん、時間を割いていただきありがとうございます。
条件なのですが、正直言って後輩からもらっていません。
おそらく、条件については皆さんのおっしゃっているとおりの条件で間違いないと思います。
ちなみにt=0かt=1かの問題に対しては、後輩からは一切条件がなく、2）の問題は、t=0を代入して何項か計算すると、成り立たないような気がするのでt=1にし、1）は同じ条件だろうということでt=1にしました。
ちなみに、その後輩は文系の人間なので、その当たりのことをよく知らないのだと思います。（それを踏まえて説明する必要があるのでちょっと苦労しそうです）

回答No.4

taropoo

やっちゃいました。
先ほどの回答で、１）の計算式でΣのしたのt=1をt=0にずらした時の
　　　　∞　　(1　+　g)^(t-1)
　　　　Σ　---------------
　　　　t=0　　(1　+　k)^(t-1)
は
　　　　∞　　(1　+　g)^t
　　　　Σ　---------------
　　　　t=0　　(1　+　k)^t
の間違いです。訂正してお読みください。

回答No.3

taropoo

一般に
　　　　∞　　　　　　　　1
　　　　Σ　a^k　=　---------　　（但し|a|<1,　それ以外の時は→∞）
　　　　k=0　　　　　1　-　a
が成り立つのでこれを使います。

１）
等式が成り立つ（収束する）為には
　　　　|　1　-　g　|
　　　　|--------|　<　1
　　　　|　1　-　k　|
が必要なのでこの条件の下に話を進めます。
　　　　∞　　　(1　+　g)^(t-1)　　　　　　　　1　　　　∞　　(1　+　g)^(t-1)　　　　　　　1　　　　∞　　(1　+　g)^(t-1)
　　　　Σ　　---------------　=　---------　Σ　---------------　=　---------　Σ　---------------
　　　　t=1　　　(1　+　k)^t　　　　　　　　1　+　k　　t=1　(1　+　k)^(t-1)　　　　　　1　+　k　　t=0　　(1　+　k)^(t-1)

　　　　　　　　　　　　　1　　　　∞　　(　1　+　g　)^t　　　　　1　　　　　　　　　　　　　1
　　　　　　　　=　---------　Σ　　(--------)　　=　---------　------------------------
　　　　　　　　　　　1　+　k　　t=0　　(　1　+　k　)　　　　1　+　k　　　　　1　-　(1　+　g)/(1　+　k)

　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　1　+　k　　　　　　　　　　　　1
　　　　　　　　=　---------　--------------------　=　---------
　　　　　　　　　　　1　+　k　　　(1　+　k)　-　(1　+　g)　　　　　　k　-　g　　　　（証明終り）

２）に関しては問題に不備がある気がするのですが。つまりΣの下のtは1からではなく0から始まるのではないかと思うのですが。
前問と同様、収束するためには
　　　　|　　　　1　　　|
　　　　|----------|　<　1　　　　∴k　<　-2,　0　<　k
　　　　|　　1　+　k 　|
この時
　　　　∞　　　　　　1　　　　　　∞　　　　　　1　　　　　　　　　∞　(　　1　)^t　　　　　　　　　　　　　1
　　　　Σ　------------　=　Σ　------------　-　1　=　Σ　(-----)　　-　1　=　-----------------　-　1
　　　　t=1　　(1　+　k)^t　　　　t=0　　(1　+　k)^t　　　　　　　t=0(1　+　k)　　　　　　　　　　1　-　(1/(1+k))

　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　　1　-　k
　　　　　　　　=　---------------　-　1　=　---　-　1　=　---------
　　　　　　　　　　　(1　+　k)　-　1　　　　　　　　　k　　　　　　　　　　k
となってしまいますが。
Σの下がt=0となっていれば答えは1/kとなります。

どこか計算ミスしてます？

お礼

ありがとうございます。
検算してみて、後輩に説明した後に、締め切らせていただきます。
大変丁寧に解説していただきありがとうございます。回答を見るうちに確かに20年程前にやった覚えがあります。少しずつ思い出してきました。

回答No.1

nikorin

kとgについての説明がありませんが、
kとgは実数で0<g<k<1と勝手に解釈しちゃいます。
単に等比級数の和の公式を使えばよいと思います。

1)
Σ((1+g)^(t-1))/((1+k)^t)=1/(k-g)
　=(1+g)^(-1)Σ((1+g)/(1+k))^t
　=(1+g)^(-1)(1+g)/(k-g)
　=1/(k-g).

2)
Σ1/((1+k)^t)
　=Σ(1/(1+k))^t
　=(1/(1+k))/(1-(1/(1+k)))
　=1/k.

私の見当違いでしたら、補足をお願いします。

お礼

ありがとうございます。
検算してみて、後輩に説明した後に、締め切らせていただきます。