対数の問題です

質問

不等式　　log２分の１X＜log４分の１（１２-X）　　　を解け。という問題です。

（２分の１と４分の１はlogの隣に小さく書かれています。）

分数が出てくるとわかりません。教えてください。

回答No.4

alice_44

分数どころか、私は対数に底が付くと解らなくなるので、
いつも自然対数を使うようにしています。

底の変換公式を使うと、問題の式は
log(x) / log(1/2) < log(12-x) / log(1/4) を経て
log(1/4) = log(2^-2) = -2log(2) により
log(x) / ( -log(2) ) < log(12-x) / ( -2log(2) )
と書き換えられるので、

log(2) > log(1) = 0 より
log(x) / (-1) < log(12-x) / (-2) を経て、
log(x) > log(12-x) / 2 と整理できます。

真数条件より x > 0 かつ 12-x > 0 と、
不等式の対数を払って x > √(12-x) です。

0 < x < 12 かつ x^2 > 12-x を解けば、
質問の問題の答えとなります。
二次不等式は、解けますか？

お礼

logは難しいですね。不等式はわかりますが、logには拒絶反応が出てしまいます。わかりやすい解説ありがとうございました。

回答No.3

info22_

底を[ ]で括り、真数を( )で括って見やすくすると

　log[1/2](x)<log[1/4](12-x)

真数>0の条件より　0<x<12 ...(※)

対数の底の変換公式を使って
底を2に変更すると
　log[2](x)/log[2](1/2)<log[2](12-x)/log[2](1/4)
　log[2](x)/(-1)<log[2](12-x)/(-2)
両辺に「-2」を掛けると不等号の向きが代わるから
　2log[2](x)>log[2](12-x)
　log[2](x^2)>log[2](12-x)
対数の底2>1なので　真数の大小関係は対数の大小関係と同じであるから、
　x^2>12-x
　x^2+x-12>0
　(x+4)(x-3)>0
(※)の条件より
　3<x<12 ...(答え)

回答No.2

okada2728

log(a底b）＝log(c底b)/log(c底a)という底の変換公式を使えば分数の底から逃げられます。
今aが分数となっているのがいやなので、底を2となるよう、つまりc=2として不等式各辺の底を変換してみてください。

回答No.1

Tacosan

「分数が出てくるとわかりません」というなら, 分数が出ないように処理すればいい.