対数関数の証明問題

質問

数学の問題がとけなくて困ってます。

log2=0.3010, log3=0.4771であることを利用して次の不等式を証明しなさい

1.1<log14<1.2

底は省略してますが１０です

解答を見ても、なぜいきなり　log12.8が出てきて証明が始まるのかがわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

＞log(15) = log(3) + 1 - log(2)
＞この等式は理解できますが、なぜ1.2からlog(15)が出てきたのかがわかりません。

ちょっとしたテクニックでありましょう。
log(14) < 1.2 を証明するために、
log(3)とlog(2)を使って作れそうな数として、
「ああ、3÷2×10で15だ（14に近い）。対数に直すとlog(3)-log(2)+1」ということに
気づくかどうか、ですね。
これに気づけば、
log(14) < log(15) = log(3)-log(2)+1 = 1.1761 < 1.2
ですから、log(14) < 1.2 の部分が証明できたことになります。

お礼

回答ありがとうございます。

>3÷2×10で15だ（14に近い）。
なるほど！、わかりました。
他の問題で自分が値を推測できるかをわかりませんが、方針は理解できました。

類似問題をたくさん解いて、値を推測できるようにがんばります。
ありがとうございました。

回答No.6

Tacosan

「底が1より大きい場合は、真数の大きい方が、対数も大きい」で OK です. だから,
log (14 より小さいなにか) < log 14 < log (14 より大きいなにか)
が成り立ちます. でこの「14 より小さいなにか」や「14 より大きいなにか」をうまく選んで
1.1 ≦ log (14 より小さいなにか) < log 14 < log (14 より大きいなにか) ≦ 1.2
とできればいいんだけど, まあそうなると「なにか」を 14 に近い値にしたいというわけですな.

何を使うかってのは... 感覚かなぁ. 10√2 は 14 って値から「√2 っぽぃ」と思ったんだけど.

お礼

ご返事ありがとうございます。

>何を使うかってのは... 感覚かなぁ
その感覚。私にも欲しいです。

もっと勉強したらなれるのかな？

でも、雰囲気はつかめたので、類似問題を自力で解いてみます。
ありがとうございました。

回答No.5

asuncion

＞　14 < 10√2 の方

推測ですが、√2の近似値を知らないという前提があるのかもしれません。

回答No.4

Tacosan

証明の方針もわからずに細かいところだけ追いかけてもしょうがないと思う.

a < x < b を証明したければ a < x と x < b を示せばいい. これは OK?
で, 対数のまま話を進めてもいいんだけど「対数の大小」を「真数の大小」に置き換えて考えることはよくある. 今の場合対数の底が 10 だから, 対数の大小と真数の大小との間にどのような関係があるかわかりますか?

他の人の回答もそうなんだけど, ここまでは「当然理解できている」ということが前提なんですよ. これを前提にして, その上で「14 に近い数字を 2 と 3 からどう組み立てるか」に入るんです.

でも, なんで 12.8 なんて作るかなぁ. 個人的には 13.5 < 14 < 10√2 の方が簡単でいいと思うんだけど....

お礼

ご回答ありがとうございます。

>底が 10 だから, 対数の大小と真数の大小との間にどのような関係
底が1より大きい場合は、真数の大きい方が、対数も大きい。
間違いないですか？

> 13.5 < 14 < 10√2
なんで、すぐにこんな数値をヒラメクか私には不思議です。
私も、回答者様のようになれるようにがんばります。

ありがとうございました。

回答No.2

misumiss

log(14) ＜ log(15) = log(3) + 1 - log(2)
よって, log(14) ＜ 1.2 は, 簡単.

log(12) ＜ log(14) という不等式では, 1.1 ＜ log(14) を, 示せない.
そこで, log(12.8) ＜ log(14) を, 利用する.
log(12.8) = 7log(2) - 1
これより, 1.1 ＜ log(14) が, いえる.

しかし, 0.3010, 0.4771, は, あくまで, それぞれ, log(2), log(3), の近似値に過ぎない.
誤差の限界まで考えて証明するのは, かなり面倒だと思う.
計算するのが平気な人なら, 14^10 を計算することにより（試しに筆算で計算してみたが, 計算が遅い回答者でさえ, 20分も必要としない）, 以下の不等式を示せば, すっきりする.
10^11 ＜ 14^10 ＜ 10^12

お礼

回答ありがとうございます。
たぶん、私は、根本的なことが理解できていないのだと思います。

log(15) = log(3) + 1 - log(2)
この等式は理解できますが、なぜ1.2からlog(15)が出てきたのかがわかりません。

基本問題練習に戻って、もう一度やり直します。
基本が理解できれば、ご回答者様の内容を理解できると思います。
（自分の理解が不足している為、申し訳ありません）

素早いご回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「どのような方針で証明すればよいか」はわかりますか?

補足

方針そのものがわかっていないと思います。
なので解答を見ても、どこからそんな数値が出てきたのかさえ理解できません。

最初に解いた基本問題
1.4＜log2(3)＜1.6でも、
解答に
2^7<3^5<2^8から証明が始まっていて、なぜいきなり2^7等が出てくるのか、どうすればそれが導き出せるのかがわかりません。

たぶん、根本的なことがわかっていないのだと思います