数II・指数対数
【問1】x,y,zは正の数で2＾x=(9/2)＾y=5＾zを満たしているとする。
このとき、a=2x,b=9/2y,c=5zとおき、a,b,cの大小関係を調べよ。
x=y(log(2)ア-イ)であるからb-a=y(ウエ/2-2log(2)オ)である。
したがって、aとbを比べるとカのほうが大きい。
同様にx=zlog(2)キであるからc-a=z(ク-2log(2)ケ)である。
したがって、aとcを比べるとコのほうが大きい。
更に、5＾9＜(9/2)＾10であることを用いると、a,b,cの間には大小関係サ＜シ＜スが成り立つことがわかる。
【問2】
１．方程式4＾x＋1－2＾(x＋2)＋1＝0の解を求めたい。
2＾x＝tとおくと、アt＾イ－ウt＋1＝0となるから、t＝エ/オとなり、求める解はx=カキである。
次に、不等式(1/4)＾x－5(1/2)＾x+4＜0の解を求める。
(1/2)＾x=kとおくと、ク＜k＜ケとなるから、コサ＜x＜シである。
2．方程式log2x＋log2(x－3)＝1＋2log2(3)の解はx＝スであり、不等式log1/2(x－2)＞log1/4(2x＋1)－1の解はセ＜x＜ソタである。
【問3】
1．3＾100はアイ桁の整数である。ただし、log10(3)＝0.4771とする。
2．(1/2)＾50を小数で表すと、小数第ウエ位に初めて0以外の数字が現れる。
3．log10(25)の小数部分をxとするとき、10＾1-x=オである。
【問4】定数aに対して、方程式-9＾x+2・3^x+1=a…(1)を考える。
3^x=tとおくと、(1)は-t^2+アt=aと…(2)となり、左辺は-t^2+アt=-(t-イ)^2+ウと変形される。
したがって、a≦エ,a=オのとき、方程式(2)はただ1つの解を持ち、エ＜a＜オのとき、方程式(2)は2個の解をもつ。
また、a＝オのとき、方程式(1)の解はx＝カであり、a＝3のとき、方程式(1)の2つの解の和はキである。
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