式の演算 必要十分

質問

次の式の中で、必要十分でない記述はどこでしょうか?

・(z-i)^4の展開式を活用し、z^3=4iz+6z-4iを解け
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(z-i)^4　= z^4 - z(z^3-4iz-6z+4i) + 1

z^3-4iz-6z+4i　= 0 の時、(z-i)^4 = 1が成立。

ω= z-i とおくと、ω^4=1。従って、ω=1,-1,i,-i。

ω+i = z より、z = 1+i,-1+i,2i,0。(終了)
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検証:
z=0とする。z^3=4iz+6z-4i　にz=0を代入すると、0=-4i
よって矛盾。従って、上の解答は誤り。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>(z-i)^4　= z^4 - z(z^3-4iz-6z+4i) + 1 ...×

この展開は間違いだよ！
正しくは
(z-i)^4　=z^4-4iz^3-6z^2+4iz+1
=z^4 -2z(2iz^2+3z-2i) + 1
なのでそもそも
「(z-i)^4の展開式を活用して、z^3=4iz+6z-4i=0 ,,,(※)を解く」ことは不可能だね。
2iz^2+3z-2i=0
すなわち
「2z^2-3iz-2=0を解く」ことなら可能かもしれない。

したがって、(z-i)^4の展開式と「z(z^3-4iz-6z+4i)」は全くの無関係。
なので(※)を解くのに(z-i)^4の展開式の展開式が使えない。
導いた「z = 1+i,-1+i,2i,0」もすべて(※)の方程式を満たさない。

展開式が間違っているので
命題の：「(z-i)^4の展開式を活用し、z^3=4iz+6z-4iを解け」
が実行不可能になったので
---------と-------------の間の解答の計算の根拠（前提）が失われ
解答の全行が意味がなくなった。
強いて言えば全てが「必要十分でない」と言えるかもしれない。

補足

問題が間違っていたようですね。
(間違いに気づかずに計算していた私も間抜けですが)

回答No.3

stomachman

> z^3=4iz+6z-4iを解け

　もしそういう問題なら z^3=(4i+6)z-4i と書きそうなもんですよ？もしかして、
　　z^3 = 4iz^2+6z-4i …(1)
の写し間違いではありませんかね？

　　(z-i)^4 = z^4 - 4iz^3 - 6z^2 + 4iz + 1
なので
　　4iz^3 + 6z^2 - 4iz = z^4　- (z-i)^4 + 1 …(2)
である。(1)は方程式ですけど、(2)は恒等式です。

(a) z≠0の場合。
　方程式(1)の両辺にzを掛けて恒等式(2)を代入すれば
　　z^4 = z^4　- (z-i)^4 + 1
つまり
　 (z-i)^4 = 1
である。

　ポイントは、「方程式(1)の両辺にzを掛け」ることに意味があるためには z≠0 でなくちゃならんということ。もしz=0だったら「方程式(1)の両辺にzを掛け」た結果は0=0という恒等式になってしまう。さておき、

　だから
　　z = ω+i ただしω∈{1, i, -1, -i}
ところがω=-iの場合にはz=0であって、(a)の条件に反するので、これは解に入れちゃいけない。つまり、解は
　　z = ω+i ただしω∈{1, i, -1}　…(3)
三次方程式には解が3つだから、(3)の他に解はなく、なのでこれでおしまい。
　ということでオッケなのだが、一応念のためにやっとくと：

(b) z=0の場合。
　方程式(1)にz=0を代入すると、(1)は成立たない。なので、z=0は解ではない。
なので、(a)(b)より、解は(3)式の3つ。

ということになります。つまり、ご質問の-------- で挟まれた部分が(a)に、「検証：」の部分が(b)に、概ね対応してるわけです。

回答No.1

Tacosan

z^3-4iz-6z+4i　= 0 の時、(z-i)^4 = 1が成立。
のところ.

お礼

z^3-4iz-6z+4i　= 0 →　(z-i)^4 = 1　は真
(z-i)^4 = 1　→　z^3-4iz-6z+4i　= 0　は偽
(z^3-4iz-6z+4i ≠ 0, z=0の場合でも成立 )
このため、z=0の場合でも成立するかの確認のためz=0をz^3-4iz-6z+4iに代入して確認する必要がある。

…ということですね。
ありがとうございます。