lim[z > 1+i] (z^2 - iz - 1 - i) / (

質問

lim[z > 1+i] (z^2 - iz - 1 - i) / (z^2 - 2i)
で答えが(3-i)/4になっています。

何をどうすればいいのか分からないので、取り敢えず有理化します：
(z^2 - iz - 1 - i)(z^2 + 2i) / (z^2 - 2i)(z^2 + 2i)
=(z^2 - iz - 1 - i)(z^2 + 2i) / (z^4 + 4)
={z^4 -z^2 + 2z + 2 + (-z^3)i + (z^2)i - 2i} / (z^4 + 4)

…収拾がつかなくてなってしまいました。却下です。
z=1-iと代入してみましょう：
{(1+i)^2 - i(1+i) - 1 - i} / {(1+i)^2 - 2i}
=(1 + 2i - 1 - i - 1 - i)/(1 + 2i - 1 - 2i)
= -2/0
分母が0になってしまいました。却下です。

どうやって解くのか教えてください。お願いします。

回答No.2

OKXavier · ベストアンサー

zに1+iを代入すると、分母、分子とも0となりますから、
この特異点が解消できないか考えます。

まず、因数分解。
分子：z^2-iz-(1+i)={z-(1+i)}{z+1}
分母：z^2-2i={z-(1+i)}{z+(1+i)}
ですから、

与式=lim[z→(1+i)](z+1)/{z+(1+i)}

これを計算します。

お礼

因数分解できたんですね。
やってみたんですけど、複素数の因数分解って予想がつきにくいですね。
自分用のメモとして残しておきます。

z^2-iz-(1+i)の場合：
足して-iなので
-(1+i)+1 = -1-i+1 = -i
掛けて-(1+i)なので
-(1+i)*1 = -(1+i)
ということで{z-(1+i)}{z+1}です。

z^2-2iの場合：
(z+α)(z-α)の形ですから
2i = α^2
(1+i)^2 = 1+2i-1 = 2i
ということで{z-(1+i)}{z+(1+i)}です。

その結果が、書いてくださった
=lim[z→(1+i)](z+1)/{z+(1+i)}
ですね。ここでz=(1+i)を代入しますと
(1+i+1)/(1+i+1+i)
= (2+i)/(2+2i)
= (2+i)(2-2i)/(2+2i)(2-2i)
= (6-2i)/8
= (3-i)/4
と答え通りになりました。
ありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

z = 1-i を代入したときの計算が間違ってます. そのまま代入したら分子も 0 になる.
で, 分子分母ともに 0 になることが分かれば「どちらも z - (1-i) で割り切れる」ことが分かるので, 割ってみればいい.

お礼

すみません、確かに計算が間違っていましたね：

{(1+i)^2 - i(1+i) - 1 - i} / {(1+i)^2 - 2i}
=(1 + 2i - 1 - i + 1 - 1 - i)/(1 + 2i - 1 - 2i)
= 0/0

紙の上で計算して既に-2/0と間違っており、それをここに書き写すときにも間違っていました。
z = 1 - i を代入して分子分母ともに 0 になれば、(右辺を左辺に移項して)「どちらも z - (1-i) で割り切れる」ことが分かるんですね。勉強になりました。覚えておきます。
ありがとうございました！