ｓｉｎｚ＝ｉ

質問

ｓｉｎｚ＝ｉを解けという問題で、
（e^iz+e^-iz)/2
={e^-y(icosx-sinx)-e^y(icosx+sinx)}/-2
として解こうとしましたが、まとめかたがわかりません。
このさきどうやるのでしょうか？

それから
cos^-1z=1/i(log(z+√(z^2-1))
の示し方がわかりません。
ｗ=cos^-1zとおいてz=cosw=(e^iw+e^-iw)/2
とおくところまではわかりますが、
このさきわかりません。
おねがいします。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

sin z = i の解は
　sin^-1w = -i(log(iw±√(1-w^2))
にw=iを代入して
　z = sin^-1(i) = -i log(-1±√2)
に訂正して下さい。

回答No.2

grothendieck

tessさん、こんにちは。z=(e^iw+e^-iw)/2の両辺にe^iwをかけると、
　e^iw z=(e^2iw + 1)/2
これをe^iwについての２次方程式と見て解くと、
　e^iw = z±√(z^2-1)
よって
　cos^-1z = -i(log(z±√(z^2-1))
が得られます。同様にsin^-1zを求めると、
　sin^-1z = -i(log(iz±√(1-z^2))
となるので、sin z = i の解は
　z = -i(log(1±√2))
ではないかと思います。

回答No.1

Eiji57

tessさん、こんにちわ。

sinz＝sin(x+iy)＝sinx・coshy+icosx・sinhy
という公式がありませんでしたっけ？
上式が正しいとして、sinz＝iを解くと
sinx・coshy+icosx・sinhy＝i
　実部　sinx・coshy＝0・・・(1)
　虚部　cosx・sinhy＝1・・・(2)
(1)より、sinx・(e^y+e^-y)/2＝0
e^y+e^-y≠0より、sinx＝0
　∴x＝nπ（n=0,±1,±2,…）
(ⅰ)n＝2mのとき（m=0,±1,±2,…）、cosx＝1のとき
　(2)式は、e^y-e^-y＝2
　　　　　 e^2y-2e^y-1＝0
　　u＝e^yとおくと、u^2-2u-1＝0
　　　　　 u＝1±√2
　　u>0より、u＝1+√2
　　従って、　e^y＝1+√2
　　　　∴y＝ln(1+√2)　　※lnは底がeの対数
(ⅱ)n＝2m+1のとき（m=0,±1,±2,…）、cosx＝-1のとき
　(2)式は、e^y-e^-y＝-2
　　　　　 e^2y+2e^y-1＝0
　　v＝e^yとおくと、v^2+2v-1＝0
　　　　　 v＝-1±√2
　v>0より v＝-1＋√2
∴y＝ln(-1＋√2)

お礼

ありがとうございます。
いまからもう一度解いてみます。