統計解析の問題

質問

U1、U2が互いに独立に一様分布U(0,1)に従うものとする。
このときX=√(-2log(U1)*cos(2πU2))、Y=√(-2log(U1)*sin(2πU2))と変換すると、XとYは互いに独立で、ともに正規分布N(0,1)に従うことを示せ。

※ヒント：U1=exp(-(X^2+Y^2)/2)、U2=((2π)^(-1))*arctan(Y/X)、arctan'(x)=1/(1+x^2)

という問題をどのように進めていけばいいかが分かりません。
ヒントをどのように使って解いていけばいいのでしょうか？

回答No.4

noname#182422

素直に密度関数を変換することで答えることができます。
U1,U2の同時密度をfとします。
ヒントから(U1,U2)=g(X,Y)となるgは分かっています。
gの(x,y)におけるヤコビアンをJ(x,y)として、
X,Yの(x,y)での同時密度をf(g(x,y))|J(x,y)|で求めれば終わりです。

回答No.3

noname#182422

ボックス-ミュラーなのでしょうけど、√の掛かり方が違っているので確認を。

回答No.2

ur2c

Box-Muller ですね

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/ボックス＝ミュラー法

回答No.1

ramayana

説明が足りないのでは。ルートの中が負のとき、X や Y はどのように定義されますか？