三角関数の合成公式 がおかしい？

質問

-3sin(x) + 3cos(x)　→　(1)
を合成公式であらわすと、

-3sin(x) + 3cos(x)
= √((-3)^2 + 3^2) * sin (x+y)
= 3√(2) * sin(x+y)
ただし y = arctan(b/a), a=-3, b=3
つまり
= 3√(2) * sin(x+arctan(3/-3))
= 3√(2) * sin(x-π/4)　→　(2)

となるはずです。しかし、例えばxにπを入れて(1)と(2)を計算してみると、

(1)-3sin(π) + 3cos(π) = -3
(2)3√(2) * sin(π-π/4) = 3

となり、(1)と(2)の答えが同じになりません。どうしてでしょうか？

回答No.4

0lmn0lmn0

ANo.2　です。　
間違えました。訂正します。

誤　値域を（π/2<y<π)として、
正　値域を（π/2<y< 3π/2 )として、

回答No.3

info22

tan(y)=sin(y)/cos(y)
を考える時
sin(y)>0, cos(y)<0だから
yの角度が第2象限の角度(π/2<y<π)であることを注意すれば
y=-π/4(第4象限の角)では無く
y=3π/4(第2象限の角)として
y=arctan(3/(-3))+π=-π/4 +π= 3π/4と求めないといけませんね。

つまり
＞= 3√(2) * sin(x-π/4)　→　(2)
= 3√(2) * sin(x+3π/4)　→　(2)
が正解の答になります。

arctan(x/y)は
x>0,y<0の場合と
x<0,y>0の場合で
角度が変わることに注意して下さい。

回答No.2

0lmn0lmn0

正しく計算すると、
-3sin(x) + 3cos(x)
=-3√(2) * sin(x-(π/4)) または、
=3√(2) * sin(x+(3π/4))
となるはずです。

-3sin(x) + 3cos(x)
=3√2*{( -1/√2)sinx+( 1/√2)cosx}

Ａ　sinｙ=( 1/√2)
Ｂ　cosｙ=(-1/√2) から、y=(3π/4)
とでるはずなのに、

ＡＢからtanｙ=-1 としたので、
情報が欠落して、ｙ＝(3π/4)、(-π/4)となり、

さらに、逆関数を使用して、
arctan(-1)=(-π/4)となっています。

arctanは多価関数です。
普通は値域を（-π/2<y<π/2)と限定して、
あまり面倒は起こらないのですが、
ｙ＝(3π/4)　に対応するためには、
値域を（π/2<y<π)として、処理する事になります。

話を戻すと、
ＡＢで処理して、
ｙは第二象限と判断するのが良いと思います。

回答No.1

neta

sin(y)=1/√2、cos(y)=-1/√2 だから、
-3sin(x) + 3cos(x)=3√2*sin(x+(3π/4))　でしょうね。