n階偏導関数の問題を教えて下さい。

質問

分からなくって困っています。
問題は
(1)u=cos(x-y)cos(x+y)
(2)u=sin(x-y)sin(x+y)
(3)u=sin(x-y)cos(x+y)
について、n階偏導関数をすべて計算しなさい(n=1,2,・・・)
という問題です。
sinとかcosを変形すると思うんですが、やり方が分かりません。
教えて下さい.
お願いします

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

cospcosq=[cos(p+q)+cos(p-q)]/2

sinpsinq=[cos(p-q)-cos(p+q)]/2

sinpcosq=[sin(p+q)+cos(p-q)]/2

を用いると

(1)u=cos(x-y)cos(x+y)=[cos2x+cos2y]/2

∂u/∂x=-sin2x, ∂^2u/∂x^2=-2cos2x,....

∂u/∂y=-sin2y, ∂^2u/∂y^2=-2cos2y,....

∂^(n+m)u/∂x^m∂y^n=0 (m≧1,n≧1)

(2)u=sin(x-y)sin(x+y)=[cos2y-cos2x]/2

(1)と同様

(3)u=sin(x-y)cos(x+y)=[sin2x-sin2y]/2

(1)と同様

お礼

ありがとうございます。
そうするのですか。
分かりました

回答No.2

noname#232123

(1) u=(1/2){cos(2x)+cos(2y)} ですから、
(∂^n/∂x^n)u=(1/2)*n*2^n*cos{2x+n*pi/2}=2^(n-1)*cos{2x+n*pi/2},
(∂^n/∂y^n)u=(1/2)*n*2^n*cos{2y+n*pi/2}=2^(n-1)*cos{2y+n*pi/2},
他はすべて０です。

(2), (3) も同様です。
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※ (d^n/dx^n)sin(x)=sin(x+n*pi/2)、(d^n/dx^n)cos(x)=cos(x+n*pi/2) を利用します。

お礼

たすかります