数列の式変形が判りません

質問

数列の式変形で、
Aｎ＋2=3(An＋1)－(2An)＋1　⇔　(An＋2－2An＋1)=(An＋1－2An)＋1　や、
An＋1－２An=n＋1⇔　An＋1＋(n＋１)＋２=2((An＋ｎ＋２)
などの式変形の仕方が、よく判りません。
お判りの方がおられましたら、ご教示、宜しくお願い申し上げます。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

書き方が非常に紛らわしい。

A(ｎ＋2)=3A(n＋1)－2A(n)＋1　⇔　A(n＋2)－2A(n＋1)=A(n＋1)－2A(n)＋1　

とすること。添え字を( )をつけて表すこと。

質問は

A(ｎ＋2)=3A(n＋1)－2A(n)＋1　　　　　　（1）

を

A(ｎ＋2)-pA(n＋1)=A(n＋1)-pA(n)+1　　　　（2）

の形にするとき、pは何かということと思われる。

(2)を（1）のように整理すると

A(ｎ＋2)=(p+1)A(n+1)-pA(n)+1 (3)

(3)と(1)を比較して

p+1=3
p=2

となる。実はこれは次の問題の場合の特殊なケースであって、入試には必ず必要になるのでここで学んでおくこと。

A(n+2)=aA(n+1)+bA(n)+f(n)　　　　　　　（４）

のとき

A(n+2)-pA(n+1)=q[A(n+1)-pA(n)]+f(n) (5)

に変形すると

B(n)=A(n+1)-pA(n) (6)

を用いて(5)は

B(n+1)=pB(n)+f(n)

となり、非常に簡単になって解ける可能性が出てくる。f(n)=0の場合なんかは頻繁に大学入試に出ている。

(5)を(4)の形にすると

A(n+2)=(p+q)A(n+1)-pqA(n)+f(n)

(4)と比較して

p+q=a, pq=b

これはp,qを2つの解とする2次方程式

t^2-at+b=0　　　　　　　　　　　　　　　　（７）

の解として求められる。(7)を特性方程式という。

質問の(1)は

ｐ＝2
q=1

という特殊な場合であった。

(5)から一般解を出す手順をいずれ勉強することになるでしょう。解らないことがあればまた聞いてください。

お礼

紛らわしい書き方にも拘らず、ご丁寧に回答をして頂き、有難うございます。
問題は、連立漸化式の一部でしたが、階差数列で求めるやり方は理解できるのに、
解答にあったこの式変形が理解できませんでした。
下の方の問題も、判りました
入試に出るとのことで、しっかり勉強したいと思います。
どうも有難うございましたm(__)m