UMVUE(一様最小分散不偏推定量)について

質問

UMVUEを求める際にLehman-Scheffeの定理を使いますがアレの意味が分かりません。
例えば、X_j ~ i.i.d B(1,θ)とするとき、(θは(0,1)区間上)
T=n^(-1)ΣX_jが不偏推定量で、
ΣX_jが完備十分統計量ならば、
TはUMVUEだそうなのですが何故でしょうか。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

θのUMVUEは、ラオ・ブラックウェルの定理から十分統計量であるΣX_jの関数に限定してよいことがわかります。

θのUMVUEをg(ΣX_j)とおくと、全てのθについて
E[g(ΣX_j)-T} = E[g(ΣX_j)] - E[T] = 0
となります。
E[g(ΣX_j)] = θは仮定から成り立ち、E[T] = θが成り立つことは容易に確認できるでしょう。

さて、g(ΣX_j)-TはΣX_jの関数であり、ΣX_jが完備十分統計量であるので、
g(ΣX_j)-T = 0
すなわち
g(ΣX_j) = T
となります。
（完備十分統計量の定義を思い出してください）

お礼

なんとか理解できました。
ありがとうございました。