不偏推定量：平均二乗誤差

質問

不偏推定量に対して、平均二乗誤差を求める問題で
計算に困っています。

データX1，X2,...,Xnがとある分布から独立に得られています。
ここでパラメータλに対する
不偏推定量　T1=(1/n)Σ(i=1～n)Xiにおいて平均二乗誤差を求める。

平均二乗誤差
=E((T1-λ)^2)
=E(((1/n)ΣXi -λ)^2)
=E((1/n)^2*(ΣXi-nλ))^2)
=(1/n)^2* E((Σ(Xi-λ))^2)

ここまではいいのですが E((Σ(Xi-λ))^2)をうまく処理できません。
授業では
E((Σ(Xi-λ))^2)=Σ(E((Xi-λ)^2)と処理していたようなのですが、
どうしてもこの式が同値であることに納得いきません。

E((Σ(Xi-λ))^2)
=　E(Σ(Xi-λ))　* E(Σ(Xi-λ))
= Σ(E(Xi-λ)) * Σ(E(Xi-λ))
= (Σ(E(Xi-λ)))^2
なら　納得いくのですが…これではこの先計算できないなぁと困っている次第です。

もしよろしければ　アドバイスをください。よろしくお願いします

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

λは母集団の平均値のこととします。
T1-λ=ΣXi/n-λ=(ΣXi-nλ)/n=Σ(Xi-λ)/n
となるので、（nλ=Σλとみる）
(T1-λ)^2={Σ(Xi-λ)/n}^2={Σ(Xi-λ)^2+Σ(Xi-λ)(Xj-λ)}/n^2
となります。ただし、Σ(Xi-λ)(Xj-λ)はi≠jでの和。
ここで、Xi,Xjは独立なので、
E[(Xi-λ)(Xj-λ)]=E[XiXj-λXi-λXj+λ^2]
=E(Xi)E(Xj)-λE(Xi)-λE(Xj)+λ^2
=λ^2-λ^2-λ^2+λ^2=0
となります。
よって、E[Σ(Xi-λ)(Xj-λ)]=ΣE[(Xi-λ)(Xj-λ)]=0となり、
E[(T1-λ)^2]=E[Σ(Xi-λ)^2]/n^2=ΣE[(Xi-λ)^2]/n^2
となって、授業でやっていたというのと同じになります。

ポイントは、E[(Xi-λ)(Xj-λ)]=0のところですが、これはXi,Xjの
共分散というもので、Xi,Xiが独立なら0となります。
さらに、これをXi,Xjの標準偏差で割った
E[(Xi-λ)(Xj-λ)]/D(Xi)D(Xj)
はXi,Xjの相関係数というものです。

お礼

再び、私のために時間を割いていただいて大変感謝します。
Σ(Xi-λ)(Xj-λ)=0、XiとXjは独立
の二つが理由なのは、なんとなく感づいていたのですが
(というか　Σ(Xi-λ)(Xj-λ)=0ならないと授業のノートがおかしいですから笑)
E[(Xi-λ)(Xj-λ)]=E[XiXj-λXi-λXj+λ^2]
=E(Xi)E(Xj)-λE(Xi)-λE(Xj)+λ^2
=λ^2-λ^2-λ^2+λ^2=0
という理由だったのですね。
共分散も習いました。　基本的な事項なのに忘れてしまっていて。
たびたび丁寧に回答していただいてほんとにありがとうございました。
お礼の形がポイントしかできないのが残念ですが、ほんとに感謝しています。