標準偏差の不偏推定量

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%81%8F%E5%B7%AE

にて「不偏分散の平方根 u は、標準偏差の不偏推定量ではない」と書かれており、他の書物等でも同等の記述が確認されます。
しかし、不偏分散は母分散の不偏推定量なのですよね？
（この認識が間違いかもしれませんが）

であれば単に不変分散の平方根を取れば、母集団の標準偏差の不偏推定量に成ると思うのですが、なぜなら無いのでしょうか？
何故ガウス関数を用いた特殊な式(あまり理解していません)を用いる必要があるのでしょうか？
ご回答、宜しくお願い致します。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

一般的に、確率変数の関数の期待値は確率変数の期待値の関数とは等しくなりません。

正規母集団の不偏分散の平方根の期待は、カイ二乗分布から定義通りに計算すれば求められます。
x = (n-1)u^2/σ^2
が自由度n-1のカイ二乗分布に従うことから、
E[u] = E[σ√{x/(n-1)}]
= {σ/√(n-1)}√∫[0,∞] (√x) f(x;n-1) dx
= {σ(Γ(n/2)/(Γ((n-1)/2))√(2/(n-1))}∫[0,∞] f(x;n) dx
= {σ(Γ(n/2)/(Γ((n-1)/2))√(2/(n-1))}
からわかる。
ただし、f(x;n-1)は参考URLのfと同じ。

難しい式を使わずに√の期待値が一致しないことを説明してみます。
不偏分散u^2の期待値は母分散σ^2に等しいことは理解されていますね。
E[u^2] = σ^2
では、ここで不偏分散の平方根の分散を計算してみましょう。
V[u] = E[(u-E[u])^2] = E[u^2]-E[u]^2 = σ^2 - E[u]^2
分散も標準偏差も非負であることから、
σ ≧ E[u]
であることがわかります。
逆に、E[u] = σであるときV[u] = 0であることがわかります。
これは、標本の大きさに関わらずデータを採れば、不偏分散の平方根は母標準偏差に等しい値が得られるということです。
（ほとんど確実にというべきでしょうが）
不偏分散の平方根が母標準偏差に等しい値が得られるなら、それを単に二乗した値である分散も母分散に等しい値が得られることになります。
これは結局平均値の分布が一点分布になることを意味します。
（何故なら、標本の大きさが2の場合、一つは自由な値がとれるとしても、もう一つは決まった値になるしかありませんが、その場合、独立にはなりません。一点分布であれば独立です）
これがあり得なさそうなことはご理解いただけることかと思います。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E5%88%86%E5%B8%83

お礼

御回答有難うございます。

おかげ様で数学の苦手な私も何とか理解・納得することが出来ました。