母分散が既知ならば推定しなくても良いのでは？

質問

平均値の区間推定などにおいて、母集団の分散などが既知の場合と未知の場合とで、信頼区間の求め方が変わりますが、そもそも母集団の統計量がわかっているのならば、なぜ母集団をそのまま利用しないのでしょうか。
このような推定をする意義は何で、または適用範囲はどこなのでしょうか。

もしくはこの疑問を解消するのに参考になる市販の書籍等があれば、ご紹介いただけるとありがたいです。
絶版になっていても、国会図書館等に行ってでも調べてきます。

回答No.3

ur2c

> このような推定をする意義は何

平均値の区間推定で正規分布を仮定すると，母数は母平均と母分散の 2 つがあります．「そのうちの 1 つである母分散は何らかの方法でわかっているけれど，それならもう 1 つの母平均はどんな範囲にあるだろうか」という問題設定です．「両方わかっている」と「両方ともわからない」の 2 とおりしかないわけではなく，

1. 母平均も母分散もわからない
2. 母平均はわかっており，母分散はわからない
3. 母平均はわからず（標本平均だけがわかり），母分散はわかっている
4. 母平均も母分散もわかっている

の 4 とおりがあります．母平均を知るために「母数をそのまま利用」できるのは 2. と 4. の場合だけなのに対して，問題の設定は 3. です．

> 適用範囲はどこなのでしょうか

「母分散は何らかの方法でわかっている」という設定がどれくらい現実的か，ということになります．たとえば「値のばらつきは同じに見えるけど，どうも平均が変わってしまったような気がする」ときとか．

なお，細かいことですけど，「母集団の統計量」という言い方はおかしいです．「母数」のことだと思います．また，「母集団をそのまま利用する」という言い方もへんです．このあたりの用語はいろいろと概念上の区別があります．いちいちうるさいですけど，ちゃんと使い分けないとおかしなことになります．

回答No.2

noname#227064

ANo.1訂正
（誤）母平均μの100(1-α/2)%信頼区間が求められます。
（正）母平均μの100(1-α)%信頼区間が求められます。

回答No.1

noname#227064

> 平均値の区間推定などにおいて、母集団の分散などが既知の場合と未知の場合とで、信頼区間の求め方が変わりますが、

お書きになられた通り、信頼区間の求め方は変わります。
X_1, X_2, ..., X_nを独立に正規分布N(μ, σ^2)に従う確率変数とします。
このとき、標本平均Xbarは正規分布N(μ, (σ^2)/n)に従いますので、もし母分散σ^2が既知ならば、
Xbar - z * σ/√n ≦ μ ≦ Xbar + z * σ/√n　　（ただし、zは標準正規分布の100(1-α/2)%点）
母分散σ^2が未知であれば、
Xbar - t * s/√n ≦ μ ≦ Xbar + t * s/√n　　（ただし、tは自由度n-1のt分布の100(1-α/2)%点、sは√(不偏分散)）
で、母平均μの100(1-α/2)%信頼区間が求められます。

> そもそも母集団の統計量がわかっているのならば、なぜ母集団をそのまま利用しないのでしょうか。

上記の方法は既知の母数についての情報を使ってますが、推定はしてません。
母平均についても、未知であるなら上記のように区間推定することもあるでしょうが、既知ならば当然推定する必要はありません。
何か勘違いされてませんか？

> このような推定をする意義は何で、または適用範囲はどこなのでしょうか。

もし、既知の母数について推定をしているのであれば、学習者に対する説明のためでは？