統計の不偏推定値

質問

大学の講義のテストで
統計があるのですが、
不偏推定値の出し方が分からなくて
ほんとに困ってます(T ^ T)

分かりやすい出し方や
公式があったら
ぜひ教えてください！

回答No.1

noname#227064

不偏推定値は不偏推定量に実現値を代入すれば得られます。
では不偏推定量はどう求めれば良いのかということになります。
公式みたいなものはないかと思いますが、次のように探してみてはいかがでしょうか。

以下、正規分布の母平均の二乗μ^2の不偏推定量を例に説明します。

まずは、いろいろな分布の母数の不偏推定量を知っておきましょう。
正規分布なら標本平均mと不偏分散s^2が、それぞれ母平均μと母分散σ^2の不偏推定量です。

次に、推定したい値の母数の替わりにそれの不偏推定量を入れてみます。
推定したいのはμ^2ですから、m^2で不偏推定できないかを考えます。

その推定量の期待値を求めてみます。
E[(m-μ)^2] = σ^2/n
だから
E[m^2] = μ^2 + σ^2/n
となります。

その推定量が不偏推定量でなければ、合うように調整します。
σ^2/nだけ多く推定してしまうので、これをs^2/nで推定してm^2から減じます。
E[m^2 - s^2/n] = E[m^2] - E[s^2/n] = μ^2 + σ^2/n - σ^2/n = μ^2

従って、m^2 - s^2/nはμ^2の不偏推定量であることが分かりました。