※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：統計学: 尤度推定量、最小二乗法）
統計学: 尤度推定量、最小二乗法
このQ&Aのポイント
統計学での微分の極値問題に悩んでいる方へのアドバイスをお願いします。
尤度推定量と最小二乗法について、統計学の問題を解説します。
統計学の問題において、θとσ^2の最尤推定量を求める方法についてのアドバイスをお願いします。
統計学なのですが、悩んでいるところは 微分の極値問題 なので 微分ができる方にも
アドバイスをお願いしたいです。
さて、問題ですが
L = - Σ（i=1->n)(Yi - θ*Xi)^2/(2*σ^2) - (n/2)ln(2*π*σ^2) を最大化するθ,σ^2を求め、
そのθとσ^2がLを最大化していることを示せ。という問題です。
ただし X1,X2,...,Xn と Y1,Y2,...,Yn は定数扱い。 また θ>= 0 , n は自然数,σ^2 > 0 です。
もとは 統計学の問題で
線形回帰モデル Yi = θ*Xi + εi ,εi は 正規分布 N(0,σ^2) に従う。 を考えたとき
θとσ^2の最尤推定量を求め、その推定量が尤度を最大化していることを証明せよ。
という問題で
(対数)尤度L を計算すると
L = - Σ（i=1->n)(Yi - θ*Xi)^2/(2*σ^2) - (n/2)ln(2*π*σ^2)
となり、 あとは極値問題を解くだけというところから 分からなりました。
この先、私が考えたのは
∂L/∂(σ^2) =0 かつ ∂L/∂θ =0 を満たす θ,σ^2 を求めること(grad(L)を導出)
前者は σ^2 = Σ(Yi-θ*Xi)^2 /n
後者は Σ(Yi-θ* Xi)*Xi = 0
という 形に変形できたのですが、
後者の式をこれ以上 くずせませんでした。
ここでアドバイスがほしいのです。
統計、もしくは解析ができる方、アドバイスをいただけないでしょうか。
文が長くなってしまいましたが、よろしくお願いします。
