微分 グラフの概形

質問

h(p) = -plog₂p -(1-p)log₂(1-p)　(0≦p≦1)

h'(p)　と　h''(p)、及び　h(p)のグラフの凹凸、変曲点はどのようになっておりますか？

よろしくお願い致します。
途中式は省いていただいても構いません。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

対数の微分は自然対数を使います。
従って対数の底を自然対数の底(e,ネイピア数)に変更してから
微分する必要があります。

対数の真数は正なので
> 0≦p≦1
の等号は入りません。

h(p)=-plog[2]p -(1-p)log[2](1-p)　(0<p<1)

=-plog(p)/log(2) -(1-p)log(1-p)/log(2)

h'(p)=-{log(p)+1}/log(2) -{-log(1-p)-1}/log(2)
={log(1-p)-log(p)}/log(2)

h''(p)={-1/(1-p) -1/p}/log(2)
=-1/{p(1-p)log(2)}

h'(p)=0より 1-p=p ∴p=1/2
0<p<1より　h''(p)<0　
　h(p)には変曲点なし。h(p)は0<p<1で上に凸

h(1/2)は極大値。

（0<p<1で増減表を書いてください。)

p=1/2で最大値h(1/2)=-2(1/2)log[2](1/2)=1をとる。

お礼

なるほど！ありがとうございました！