グラフが。。。

質問

log(coshx)のグラフが書けません、助けてください！
考え方や途中式も教えてくれるとうれしいですm(_ _)m

回答No.1

noname#17965 · ベストアンサー

cosh(x)=1/2*{exp(x)+exp(-x)}
なのでグラフは割りと簡単な形になります。解析的じゃありませんが、まずcoshxのグラフを書いて、それからlogをとってグラフを書くと、とりあえず答えには辿り着きます。それを見ながら回答を考えるとちょっとやりやすいです。

回答：
f(x)=log{cosh(x)}とおくと
f'(x)=1/cosh(x)*{cosh(x)}'=1/cosh(x)*1/2*{exp(x)-exp(-x)}
={exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}
式より明らかに
・f'(ｘ)=0となるｘはｘ＝０のみ　それ以外では全部プラス
・f(x)→+∞（x→±∞）
・ｘが非常に小さい時はexp(x)≒０なので
f(x)=log{1/2*(exp(x)+exp(-x)}≒log{1/2*exp(-x)}=-x-log(2)　
つまりｘの負方向の漸近線はf(x)=-x-log(2)
・同様にｘが非常に大きい時はexp(-x)≒０なのでf(x)≒x-log(2)
つまり正方向の漸近線はf(x)=x-log(2)

f(x)の増減表は以下のようになる。

x -∞　　　　 ０　　　 +∞
----------------------------
f' 　　　－　 ０　 +
f +∞　減少　０ 増加 +∞

この増減表と漸近線を盛り込んで図にすると答えになります。

お礼

こまかくありがとうございました。

回答No.3

nabla

cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2ですから、
log(cosh(x))をxについて微分すると、その導関数は
(exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x))であることが分かります。
分母は常に正であることに注意すればすぐに増減表がかけるので、あとはグラフの対称性に注意しながら必要に応じて２次導関数から凹凸を調べたり漸近線の有無について調べればグラフがかけます。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

noname#17965

#1です。訂正１箇所。
f'(x)=0となるｘはｘ＝０のみ　それ以外は～
「それ以外～」は誤りです。削除してください。